в свою очередь могут образовывать входящие потоки для других подсистем СМО. Так, поток пациентов на прием к терапевту разделяется после обслуживания на выходящий поток заявок, обслуживание которых завершено, и потоки заявок на обслуживание к хирургу, кардиологу и другим специалистам. Источник входящего потока в зависимости от целей исследования может рассматриваться как нечто внешнее по отношению к СМО или же как часть системы.
Насколько для организации массового обслуживания нужна теория? Действительно, во многих случаях руководящие решения опираются на опыт и интуицию. И не всегда эти решения оказываются плохими. Однако обратимся к примеру из третьей главы: пусть пропускная способность городского травматологического пункта – 10 пациентов в час, а в городе в этот период времени случается 9 травм в час. На первый взгляд, здесь все в порядке – травматологический пункт должен справиться с работой. И все же, согласно теории, средняя длина очереди у пункта составит 8,1 человека, а среднее время пребывания пациента в очереди
– 0,9 часа (54 минуты). При этом 10 % времени работы пункта
придется на простой. Например, если смена продолжается 6 часов, то из них 36 минут персонал простаивает. Другой пример: малое количество касс в супермаркете приведет к росту очередей в определенные периоды работы магазина и потере части покупателей, а большое – к большому простою и неэффективным расходам на заработную плату кассиров. Оптимальное решение
6
опять неочевидно. Мы только что рассмотрели два самых простых примера. А если речь пойдет об организации работы районной поликлиники? Это уже проектирование сложной системы!
В основу предлагаемого учебного пособия лег курс лекций, в течение нескольких лет читаемый автором для студентов, обучающихся по направлению «Информационные системы и технологии». Пособие призвано помочь студенту овладеть первичными навыками исследования СМО и построения их моделей. К сожалению, объем книги не позволил автору в полной мере реализовать свои планы. Однако, учитывая опыт преподавания дисциплины, он стремился тщательно разобрать вопросы, вызывающие у студентов наибольшее затруднение, дать приводимые доказательства достаточно подробно, сделать изложение доступным для широкого круга читателей. Небольшая книга не может дать ответы на широкий спектр вопросов, но иногда, прежде чем открыть солидную монографию, человеку нужно прочитать «тонкую» книгу, чтобы понять, кому и зачем нужна теория, и чтобы возникла заинтересованность.
Пособие состоит их трех глав. Первая посвящена входящим потокам – простейшему и простейшему нестационарному. Во второй рассматриваются уравнения Колмогорова и примеры их решения для достаточно простых СМО. Таким образом, для ряда СМО получены аналитические решения дифференциальных уравнений, описывающих их работу. В более сложных случаях
7
аналитическое решение получить непросто. Однако в широком классе задач вероятности возможных состояний СМО быстро приближаются к некоторым предельным значениям – установившемуся решению. В третьей главе анализируются системы гибели и размножения для случая установившихся решений.
Значительное влияние на структуру и содержание предлагаемого пособия оказали работы А. Я. Хинчина [8], Б. В. Гнеденко и И. Н. Коваленко [3], Л. Г. Лабскера и Л. О. Бабешко [7].
В качестве источника задач для творческого усвоения и закрепления пройденного материала можно рекомендовать книгу О. А. Новикова и С. И. Петухова [6].
Замечания и предложения можно направлять по одному из адресов:
belyi@petrsu.ru или kurs_belyi1@mail.ru .
8
Уже давно в самых разных сферах человеческой деятельности для описания процессов, протекающих во времени, широкое распространение получило понятие поток событий, которое означает последовательность событий, разделенных некоторыми интервалами времени. Так, одним из ключевых понятий финансовой математики является поток платежей, автодорожники говорят о потоке машин. В теории массового обслуживания события обычно называют заявками или требованиями и, соответственно, рассматривают потоки заявок или требований.
События, образующие поток, могут происходить как в фиксированные, так и в случайные моменты времени. Например, ваши дни рождения приурочены к фиксированным моментам, а встречи знакомых во время вашей прогулки по городу, скорее всего, образуют поток случайных событий. Часто случайные факторы накладываются на определенную закономерность. Так, даже при наличии четкого расписания прибытия автобусов на станцию реальные моменты этих событий могут отличаться от плановых в результате непредвиденных задержек: пробок на дорогах, остановок у шлагбаума, погодных условий и т. д. Поэтому при построении математических моделей мы можем рассматривать моменты наступления одних и тех же событий как фиксированные или как случайные, в зависимости от цели исследования, от разброса фактических моментов наступления событий относительно ожидаемых, от требований к точности. И все же часто, в силу
9
природы исследуемых явлений, события приходится рассматривать именно как случайные.
Вопрос о том, что в той или иной ситуации можно считать событием, обычно не вызывает затруднений. Если нас интересует работа диспетчера такси, очевидно, что событиями будут звонки клиентов на служебный телефон, но никак не звонки ее подруг на личный мобильный телефон. Другой вопрос – однородность потока. Однородность означает возможность привлечь для обработки событий одни и те же технологии, ресурсы системы. На практике часто неоднородный поток заменяют набором однородных потоков. Например, неоднородный поток бытовой техники в ремонтной мастерской удобно разбить на однородные потоки холодильников, чайников, утюгов и т. д. Это разбиение мотивируется спецификой обслуживания соответствующих заявок и различными квалификационными требованиями к мастерам по ремонту техники. Здесь вопрос однородности заявок тесно связан с вопросом глубины специализации персонала мастерской.
Под источником входящего потока часто, но не всегда, подразумевают нечто внешнее по отношению к системе массового обслуживания, свойства которого не зависят от особенностей функционирования системы. Так, входящий поток станции скорой помощи – множество телефонных вызовов врача – не зависит от организации работы станции.
10