Материал: Введение в теорию массового обслуживания

§ 1.1. Определение простейшего потока

В теории массового обслуживания наибольшее распространение получил простейший поток. Это обусловлено тем, что он является достаточно адекватной, математически обоснованной и насколько возможно простой моделью многих реальных потоков. Простейшим нызывают поток однородных событий, обладающий следующими тремя свойствами:

1. Стационарностью. Стационарность потока означает, что для любых вещественных , > 0 и целого ≥ 0 веро-

ятность появления событий на интервале ( , + ) не зависит от T.

2. Отсутствием последействия. Под отсутствием последействия подразумевают независимость вероятности появления событий на интервале ( , + ) от количества и вре-

мени появления событий до момента . В дальнейшем вероятность появления событий на интервале длины в

простейшем потоке будем обозначать ( ).

3. Ординарностью. Ординарность потока означает выполнение равенства >1( ) = ( ). Здесь >1( ) – вероятность появления более одного события за время , а ( ) – произвольная вещественная функция h, бесконечно малая более высокого порядка, чем . То есть

lim >1( ) = 0.

→0

11

Отсюда следует равенство нулю вероятности появления одновременно двух и более событий (разумеется, последнее не исключает возможность появления сразу двух и более событий).

Простейший поток является таким же абстрактным математическим объектом, как прямая линия в геометрии. Стационарность, отсутствие последействия и ординарность не более чем допущения. Так, поток вызовов скорой помощи можно считать стационарным лишь на некоторых ограниченных интервалах времени суток. При небольшом количестве радиоактивного вещества в потоке распадов атомов последействие практически не имеет места, но в случае большой массы того же вещества наблюдается цепная реакция, т. е. вероятность распада некоторого количества атомов на заданном интервале времени зависит от количества произошедших ранее распадов. Допущение об ординарности также периодически нарушается. Например, в железнодорожной кассе иногда приобретаются билеты сразу на целую группу туристов. Увы, мы живем не в идеальном мире, но это не повод отказаться от любых попыток понять его.

§ 1.2. Уравнения простейшего потока

Введем обозначение 0(1) = , где 0( ) – вероятность того, что

за время не произойдет ни одного события. Разобьем единич-

ный интервал времени на равных частей. Тогда для того, чтобы

на всем интервале не произошло ни одного события, необходимо

12

и достаточно, чтобы ни одного события не произошло на каждом из частных интервалов. Поскольку 0(1/ ) зависит только от длины интервала, при условии отсутствия последействия

1

0(1) = [ 0(1/ )] = или 0(1/ ) = . Аналогично при на-

туральном получим 0( / ) = . Пусть вещественное число

> 0. Тогда для любых и можно найти такое , что

Поскольку вероятность всегда принимает значения из интервала [0; 1], мы должны рассмотреть три случая: = 0 , = 1 и

0 < < 1 . В первом случае 0( ) = 0 для любого > 0 и, следовательно, на любом сколь угодно малом интервале произойдет бесконечное множество событий, что противоречит принципу ординарности потока. Во втором случае 0( ) = 1 и поток, как таковой, отсутствует. Остается только третий случай. Введем замену переменной = − · , где > 0 – некоторый вещественный

параметр. Тогда, (0; 1] = [0; +∞). Таким об-

разом, вероятность отсутствия событий на интервале длины задается равенством 0( ) = − . Смысл параметра мы выясним ниже. Поскольку − 1 = + ( ) или = 1 + + ( ), мы можем записать равенство, которое нам в ближайшее время пригодится: 0( ) = 1 − · + ( ). Теперь докажем лемму.

13

Лемма

В простейшем потоке 1( ) = · + ( ). То есть вероятность появления одного события за время с точностью до бесконечно малой более высокого порядка, чем , пропорциональна .

Доказательство

Для любого [0; +∞], 0( )+ 1( )+ >1( ) = 1. Подставив в последнее равенство 0( ) = 1 − · + ( ) и >1( ) = ( ), получим 1( ) = · + ( ), что и требовалось доказать.

Напомним, что ( ) – произвольная бесконечно малая величина, большего, чем , порядка. Поэтому ( ) ± ( ) = ( ) и

· ( ) = ( ) , где (0; ∞) – вещественная константа.

Рассмотрим интервал времени длины + . Пусть на этом интервале произошло событий. Тогда, если на участок длины пришлось событий, то на участок длины придется − событий, где = 0, 1, . . . , . По формуле полной вероятности для

= 1 имеет место равенство

Аналогично для > 1

14

То есть

−2

∑

( ) · − ( ) = ( ).

=0

Значит,

( + ) = ( ) · 0( ) + −1( ) · 1( ) + ( ) =

= ( ) · (1 − · + ( )) + −1( ) · ( · + ( )) +

Хотя для = 0 уже получено решение 0( ) = − · , составим и для этого случая равенство

15