Материал: Введение в теорию массового обслуживания

§ 3.4. Одноканальная СМО с ограничением на длину очереди

Теперь рассмотрим систему, аналогичную исследованной в предыдущем параграфе, но с ограничением на длину очереди. Пусть система имеет + 1 состояние: 0 – единственный канал свобо-

ден, 1 – единственный канал занят обслуживанием заявки, 2 – канал занят и одна заявка находится в очереди и т. д. Последнее состояние +1 – в очереди n заявок (рис. 13).

Рис. 13. Одноканальная СМО с ограничением на длину очереди

Формулы Эрланга:

Выполнение условия < 1 теперь не требуется. = 0 · . Вероятность принятия заявки на обслуживание равна 1 − +1 , вероятность отказа – +1. Система имеет два выходных потока: поток обслуженных заявок с интенсивностью = (1 − +1) и поток заявок, получивших отказ, с интенсивностью = +1 · . Средняя длина очереди

66

Аналогично тому, как это делалось в предыдущем параграфе,

нетрудно найти

обс, сис, оч, сис. Разумеется, формулы Литт-

ла также выполняются.

§ 3.5. Одноканальная СМО с нетерпеливыми заявками

Описание системы совпадает с представленным в § 3.2. Единственное отличие – новый выходящий поток, поток нетерпеливых заявок. Для него мы вводим новый параметр – интен-

сивность ухода заявки из очереди. Таким образом, 1 – среднее

время ожидания заявки в очереди. Схема СМО изображена на рис. 14.

Рис. 14. Одноканальная СМО с нетерпеливыми заявками

В рассматриваемом примере заявки иногда покидают очередь по своей инициативе, не дождавшись обслуживания. Формулы Эрланга:

Также рассматривают приведенную интенсивность потока ухо-

67

этому интенсивность выходящего потока покинувших очередь

заявок равна оч · . Поскольку в очередь принимаются все без

исключения заявки, абсолютная пропускная способность систе-

− оч ·

мы = .

§ 3.6. Замкнутая одноканальная СМО

До сих пор мы рассматривали СМО, в которых входной поток не зависит от того, сколько заявок в данный момент обслуживается или находится в очереди. Так, в большом городе вы можете считать, что ваш звонок не окажет влияния на общую интенсивность звонков по городу и, хотя население даже очень большого города конечно, вы можете в модели считать количество источников заявок бесконечным. Другое дело, например, когда в цехе всего десять станков и один мастер по их ремонту. Тогда моделью цеха будет СМО с состояниями { }, где = 0, 1, . . . , : 0 – работают все станки, 1 – один станок в ремонте, остальные ра- ботают, 2 – один в ремонте, один в очереди, остальные работают и, наконец, – один в ремонте, остальные в очереди на ремонт! Интенсивность потока заявок на ремонт с одного станка, т. е. интенсивность потока отказов – , интенсивность обслуживания –

68

. Величину 1/ в теории надежности называют наработкой

на отказ. Такие системы называют замкнутыми, или системами Энгсета (рис. 15).

Рис. 15. Замкнутая одноканальная СМО

Формулы Эрланга:

Абсолютная пропускная способность СМО = зан · , где зан

– вероятность того, что система занята обслуживанием заявки. Напомним, что здесь – производительность системы при усло-

вии, что она обслуживала бы заявки непрерывно, без простоев. В замкнутой СМО можно выделить некоторые количества активных акт и пассивных пас источников заявок. Например,

пассивные источники – это находящиеся в ремонте или в очереди на ремонт станки. Только активный источник может подать новую заявку на обслуживание. Очевидно, акт + пас = .

69

Здесь

Вероятность того, что заявка активна, т. е. доля активных заявок

70