Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Воронежский государственный архитектурно–строительный университет
Центр компьютерного тестирования знаний ВГАСУ
С.М. Алейников, В.В. Горяйнов
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Контрольно–измерительные материалы
для аттестации обучающихся в технических вузах
Практикум
Рекомендовано в качестве учебного пособия редакционно–издательским советом Воронежского государственного архитектурно–строительного университета для студентов всех специальностей ВГАСУ
Воронеж 2006
УДК 51 : 378. 146 (075) ББК 22.1 в6 А 458
Алейников, С.М. Высшая математика. Контрольно-измерительные материалы для аттестации обучающихся в технических вузах [Текст] :
А458 практикум / С.М. Алейников, В.В. Горяйнов; под ред. С.М. Алейникова; Воронеж. гос. арх.-строит. ун-т. – Воронеж, 2006. – 131 с.
Предлагаемый практикум содержит 534 задачи по разделам высшей математики, изучаемым в высших технических учебных заведениях: линейная и векторная алгебра; аналитическая геометрия; дифференциальное и интегральное исчисления; дифференциальные уравнения; ряды; функции комплексного переменного; теория вероятностей и математическая статистика.
Предназначено для подготовки студентов всех специальностей ВГАСУ к компьютерному тестированию, аудиторной и самостоятельной работе. Кроме того, практикум может быть полезен преподавателям для аттестации и контроля знаний студентов.
Библиогр.: 12 назв.
Рецензенты: Центр мониторинга качества знаний студентов при Воронежском государственном педагогическом университете (Ю.А. Воронин, руководитель центра, д-р пед. наук, засл. раб. высш. шк., проф.);
А.Д. Чернышов, д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры высшей математики Воронежской государственной технологической академии
© Алейников С.М., Горяйнов В.В., 2006
© ВГАСУ, 2006
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие……………………….…………………………………….. 5 Введение………………………………………………………………….. 6
1.Линейная алгебра……………………………………………………. 7
1.1.Определители……………………………...……………………. 7
1.2.Матрицы…………………………………...………………….…. 9
1.3.Системы уравнений……………………………...……………… 13
2.Векторная алгебра………………………………………….……….. 16
2.1.Линейные операции над векторами………………………....…. 16
2.2.Скалярное произведение векторов………………………….….. 20
2.3.Векторное произведение векторов………………………….….. 23
2.4.Смешанное произведение векторов………………...………….. 25
3.Аналитическая геометрия……………………………………….…. 28
3.1.Аналитическая геометрия на плоскости…………………...…... 28
3.1.1.Прямая линия на плоскости……………………………... 28
3.1.2.Кривые второго порядка………………………..………... 34
3.2.Аналитическая геометрия в пространстве……………………... 39
3.2.1.Плоскость в пространстве……………………...………... 39
3.2.2.Прямая линия в пространстве……………………...……. 41
3.2.3. Прямая и плоскость в пространстве…………………..… 43
3.2.4.Поверхности второго порядка…………………………… 44
4.Дифференциальное исчисление…………………………………… 46
4.1.Дифференциальное исчисление функции одной переменной... 46
4.2.Дифференциальное исчисление функции
нескольких переменных………………………………………... 59
5.Интегральное исчисление………………………………………….. 63
5.1.Неопределенные интегралы……………………...……………... 63
5.2.Определенные интегралы………………………….…………… 68
5.3.Кратные интегралы……………………………………………… 75
5.4.Криволинейные интегралы……………………………………... 77
6.Дифференциальные уравнения……………………………………. 80
6.1.Дифференциальные уравнения первого порядка……………… 80
6.2.Дифференциальные уравнения второго порядка…………….... 83
6.3. Дифференциальные уравнения высших порядков………….… 87
7.Ряды…………………………………………………………………… 89
7.1.Числовые ряды……………...…………………………………… 89
7.2.Функциональные ряды……………………...…………………... 93
8.Функции комплексного переменного…………………………….. 95
8.1.Действия над комплексными числами………………...…….…. 95
8.2.Аналитические функции комплексного переменного……….... 96
3
9.Теория вероятностей……..…………………….…………………… 105
9.1.Элементы комбинаторики…………...………………………….. 105
9.2.Случайные события…………………...……………………….... 106
9.3.Случайные величины……………………………………………. 111
10.Математическая статистика…………………………………….... 122
10.1.Выборочный метод.…………………...……………………….. 122
10.2.Числовые характеристики статистического распределения.... 123
10.3.Статистические оценки параметров распределения………..... 125
Заключение…………………………….……………………………….... 128
Библиографический список рекомендуемой литературы…...………... 129 Приложение. Бланк ответов на тестовые задания……..……….……... 130
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Наиболее актуальное направление повышения качества подготовки специалистов – внедрение автоматизированной системы контроля знаний студентов с использованием компьютерных технологий, которая становится неотъемлемой частью образовательного процесса.
Контроль уровня освоения учебных дисциплин студентами основан на дидактических измерениях. Традиционно, дидактические измерения – это анализ преподавателями ответов студентов, вот почему результаты оценки всегда субъективны. Определенным этапом повышения эффективности дидактических измерений является переход к тестированию в любой его форме (бланочному, аппаратному, компьютерному). Основной целью тестирования является получение объективной оценки уровня знаний студентов с определенной достоверностью и точностью, которые могут быть достигнуты за счет внедрения адаптивных процедур тестирования.
Воронежским государственным архитектурно–строительным университетом приобретена инструментальная среда тестирования АСТ–ТЕСТ, включающая программное обеспечение для конструирования тестовых заданий, конвертации в электронный вид имеющихся банков тестовых заданий и проведения компьютерного тестирования студентов. Наличие программного обеспечения будет содействовать повышению качества обучения, совершенствованию организации учебного процесса на основе использования современных информационных технологий и технических средств обучения.
Одной из актуальных задач организации процесса компьютерного тестирования является разработка банков тестовых заданий по различным учебным дисциплинам и блокам дисциплин на основе методологических требований, обеспечивающих осуществление единой политики в области высшего образования и получение объективных оценок уровня знаний, умений и навыков студентов.
Решению этой задачи посвящено настоящее издание, являющееся одной из учебно–методических работ, в котором приведены тестовые задания для студентов по дисциплине «Математика». Несмотря на то, что в печатном варианте представлены программно–дидактические тестовые задания закрытого типа, при их переносе в программу они могут быть преобразованы в тестовые задания других типов (открытого, установления последовательности, установления соответствия).
Учебное пособие может быть использовано преподавателями для контроля текущей успеваемости, остаточных знаний, а также для самостоятельной работы студентов.
Т.В. Самодурова, руководитель центра компьютерного тестирования знаний ВГАСУ, д-р. техн. наук, проф.
5