Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

четырехугольника (т.е. квадрата) с центром в начале

координат и удалены от начала координат на расстояние 2 2 . Возможность извлекать корень из любого числа

позволяет решать квадратные уравнения az2 +bz +c = 0 с

произвольными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами a,b, c . Корни уравнения находятся по

формуле

z

=

−b ±

b2 −4ac

,

(2.13)

 

 

1,2

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

которая выводится так же, как и в случае действительных

чисел a,b, c, z (путем

выделения

полного квадрата из

квадратного трехчлена

az2 +bz +c ).

В качестве b2 −4ac

можно взять любое из двух значений корня; эти значения связаны равенством ω1 = −ω2 .

Пример 2.6. Решить уравнение z2 +2z +2 = 0 .

Решение. D = b2 −4ac = 4 −4 1 2 = 4 −8 = −4;

 

D = −4 = −1 4 = 2 −1 = ±2i .

По формуле (2.13)

 

 

 

 

 

z = −2 ±2i = −1±i;

z = −1+i;

z

2

= −1−i. (Рис. 1.8)

1,2

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В школьном курсе математики считается, что если

дискриминант D < 0, то корней нет. Их и в самом деле нет,

 

 

если искать только действительные

 

 

корни (т.е. точки, расположенные на

 

 

оси ОХ). Но среди более широкого

 

 

множества

 

 

комплексных чисел

 

 

корни

 

 

уже

найдутся;

 

 

соответствующие

точки

 

 

расположены

вне

действительной

 

 

оси.

 

 

 

 

 

Рис. 1.8

Таким образом, каждое квадратное

уравнение имеет ровно два корня (возможно, совпадающих).

16

6. В заключение введем еще одну форму записи комплексных чисел. Определим показательную функцию от

чисто мнимого аргумента iϕ следующим равенством:

 

eiϕ = cosϕ +i sinϕ .

(2.14)

Поскольку число z можно записать в виде z = r(cosϕ +i sinϕ) , где r = z , то получаем более краткую, так называемую

показательную форму комплексного числа:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = reiϕ ,

r =

 

z

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

z

= r eiϕ1

,

z

2

= r eiϕ2 . Учитывая формулы (2.5), (2.7) и

 

1

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.8), получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r r eiϕ1 eiϕ2

= z z

2

= r r ei(ϕ1 +ϕ2 ) , откуда eiϕ1 eiϕ2

= ei(ϕ1 +ϕ2 ) ;

1

2

 

 

 

 

1

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(reiϕ )n = zn

= rneinϕ , откуда (eiϕ )n = einϕ ;

 

 

 

 

 

reiϕ1

=

z

 

=

r

 

e

i(ϕ −ϕ

 

)

, откуда

eiϕ1

= e

i

(ϕ −ϕ

)

.

 

 

 

1

 

 

1

 

1

1

2

 

 

 

1 2

 

 

 

r eiϕ2

z

 

 

 

 

eiϕ2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.15)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, функция eiϕ , определенная равенством (2.14), обладает обычными свойствами показательной функции, что говорит о естественности такого определения. Формула (2.14)

называется формулой Эйлера.

17

2. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 2.1. Плоскость комплексного переменного

Если х и у являются переменными величинами (т.е. могут принимать различные значения), то z = x +iy называется

комплексным переменным. При изменении х и у

соответствующая

 

точка

z = x +iy

пробегает

 

 

 

 

некоторое

множество точек комплексной плоскости

 

. Вся комплексная

плоскость

 

называется

также плоскостью комплексного

переменного z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расстояние ρ(z1, z2 ) между двумя точками

z1 = x1 +iy1

и

z2

= x2 +iy2 находится по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρ(z z ) = (x − x )2

+( y − y

2

)2

=

 

 

z − z

2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

2

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому уравнение окружности радиуса R с центром в точке

z0

имеет

вид

 

z − z0

 

= R ,

а множество точек

z,

 

лежащих

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

внутри круга радиуса R с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

центром

 

 

 

 

 

z0 ,

 

 

 

 

 

задается

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

неравенством

 

 

 

 

 

z − z0

 

< R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(рис.2.1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для фиксированной точки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

плоскости

 

 

 

комплексного

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

переменного

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

положительного

 

 

числа

δ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

множество всех точек z,

 

 

Рис. 2.1

 

 

 

 

 

удовлетворяющих

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

неравенству

 

 

 

z − z0

 

 

<δ ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

является внутренностью круга

радиуса

S с

 

центром

z0 .

Это

множество

 

называется

δ -окрестностью точки z0 .

Множество D точек называется открытым, если всякая его точка имеет окрестность, принадлежащую D (т.е. целиком

18

состоящую из точек данного множества D). Например,

множество

 

 

D ={z :

 

z − z0

 

< R}

 

 

(см.

рис.

2.1)

является

 

 

открытым.

Действительно,

возьмем любую

точку

z1 D .

Тогда

 

z − z0

 

 

< R ,

и d = R −

 

z1 − z0

 

> 0 будет расстоянием от z1

 

 

 

 

до окружности

 

 

z − z0

 

= R .

Поэтому

если

0 <δ < d ,

то

 

 

 

множество

 

 

z − z0

 

<δ лежит в

D; это и доказывает, что

D

 

 

 

открыто.

Множество D называется связным, если любые две точки из D можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в D. Открытое связное множество называется областью.

Приведем

примеры областей: круг

 

z − z0

 

 

< R ; кольцо

 

 

r <

 

z − z0

 

 

< R , 0 ≤ r < R ; вся плоскость

;

полуплоскость

 

 

Re z > a , где a — действительное число. В то же время круг

 

z − z0

 

≤ R не является областью, так как это

множество не

 

 

является открытым: для точек z, для которых

 

 

z − z0

 

= R , не

 

 

существует окрестности, целиком лежащей в этом круге.

Точка z1 называется граничной точкой множества D,

если в любой окрестности точки z1 найдутся как точки,

принадлежащие множеству D, так и точки, ему не принадлежащие. Множество граничных точек называется границей множества D. Множество, состоящее из области D и всех граничных точек области D, называется замкнутой

областью и обозначается

D

. Например, круг

 

 

 

z − z0

 

≤ R

и

 

 

кольцо r ≤

 

z − z0

 

≤ R являются замкнутыми областями;

но

 

 

кольцо r <

 

z − z0

 

 

≤ R не является замкнутой областью (так как

 

 

граничные точки, лежащие на окружности

 

z − z0

 

= r ,

не

 

 

принадлежат этому множеству), и не является областью (данное множество содержит граничные точки на окружности

z − z0 = R и, следовательно, не будет открытым).

19

Области на плоскости делятся на односвязные и многосвязные. Область называется односвязной, если ее

граница состоит из одной непрерывной кривой без

самопересечений

 

(возможно, замкнутой).

 

Например,

 

круг

Рис. 10

 

z − z0

 

< R

 

и

 

 

 

 

 

 

 

полуплоскость

являются

 

односвязными областями.

 

Область, не

являющаяся

 

односвязной,

называется

 

многосвязной.

В

 

частности,

многосвязная

Рис. 2.2

область называется n-связной,

 

если ее граница состоит из n (n > 1) непересекающихся непрерывных кривых; некоторые из них могут вырождаться в точку. Например, на рис. 2.2 изображена 4-х связная область D; ее граница состоит из четырех кривых γ1,γ2 ,γ3 ,γ4.

Рассмотрим еще одну геометрическую интерпретацию

комплексного числа. Пусть S —

сфера радиуса 1 2 ,

касающаяся комплексной плоскости

в точке z = 0 (рис. 2.3),

и Р — точка сферы, диаметрально противоположная точке 0. Возьмем произвольную точку z и проведем луч Pz . Этот

луч имеет единственную точку пересечения Z со сферой S;

очевидно, что Z ≠ P .

Тем

самым

каждой

точке z

поставлена в соответствие точка Z S , Z ≠ P . Наоборот, если

задана точка Z S , Z ≠ P , то аналогичное построение дает

соответствующую точку

z

. Тем

самым

мы построили

взаимно однозначное соответствие между точками комплексной плоскости и точками сферы S, отличными от

Р. Это соответствие называется стереографической проекцией.

20

Источник: https://studfile.net/preview/16565872/

Смотрите также:

Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)