Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Задача 8.5. Найти все решения уравнения z 4 −2z 2 + 4 = 0 .

Решение. Уравнение имеет четыре корня. Сделав замену

переменного

t = z 2 ,

приходим к

уравнениюt 2 −2t + 4 = 0 .

Дискриминант равен

D = 4−16 = −12 ; t1, 2

2 ± −12 = 2 ±i 2 3 =1±i 3 .

Найдем

z .

Для

t1 =1+i

получим

r =

= 1+3 = 2 ;

cosϕ=1 2 , sin ϕ= 3

2 . Следовательно, ϕ= π 3 , и

π + 2πk

z =

t1 =

2 cos

+i sin

k = 0,1.

Отсюда

при

k = 0

2 cos

+i sin

;

7π

при

k =1

2 cos

+i sin

= −

Аналогично

рассматривается

случай

t 2 =1−i

3 . При

этом

t 2

= 2 , ϕ= −π 3 ,

z3 =

cos −

+i sin −

−i

;

201

												5π					5π									3			1
												5π					5π									3			1
			z	4	=		2		cos				+i sin								=			2 −				+i			.
			z		=		2		cos				+i sin								=			2 −				+i			.
												6														2			2
												6					6									2			2

	Задача 8.6. Представить в алгебраической форме число
													z =			6 ei π 3
																							.
																3	−2i				2		.
															(						)
	Решение. По формуле Эйлера
		i π 3								π				π							1				3
	6 e	i π 3			=					π	+i sin			π							1		+i		3		(					)	;
																											(					)
						6 cos				3				3		= 6					2				2	= 3 1+i 3
										3				3							2				2

	(	3−2i					2	= 9−2 6i +							(	2i		2		= 9−12i −4 = 5−12 ;
	(					)									(		)
z =	3(1+i 3)					=		3	(1+i 3)(5 +12i)												=
z =	5−12i					=		3	5−12i 5 +12i										)		=
									(				)(						)
	= 3		(5−12 3)+i(12 +5 3)															=				3(5−12 3)						+i		3(12 +5 3)				.
	= 3																	=										+i						.
								25 +144																169							169

Понятие функции комплексного переменного.

Задача

8.7.

Изобразить

множество точек z комплексной

плоскости,

удовлетворяющих

равенству

z −2 +i

z +5−2i

Решение.

Значение

z −z0

равно

расстоянию

между

точками

z и

z0 .

Поэтому

Рис. 8.2

данное

равенство

означает

следующее: требуется

найти точки

z , равноудаленные от

202

точек a = 2−i и b = −5 + 2i . Известно, что множество точек,

равноудаленных от a и b , представляет собой прямую, перпендикулярную отрезку ab и проходящую через середину с этого отрезка (т.е. срединный перпендикуляр) — рис. 8.2. Так как координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих координат его концевых точек, то

c =	2−5	+i	−1+ 2	= −	3	+i	1 .
	2		2		2		2

Итак, искомым множеством является прямая, проходящая

через точку c = −

3 +i

перпендикулярно отрезку ab .

Задача 8.8. Изобразить на комплексной плоскости

область, заданную неравенствами

z −2i

< 2 ;

1< Im z < 3 .

Решение.

Неравенство

z −2i

< 2

означает,

что

расстояние от точки

до точки

z0 = 2i

меньше

чем

2 .

Поэтому

множество

точек z ,для

которых

z −2i

< 2 ,

является

внутренностью круга с центром 2i

радиуса 2 .

Условие 1< Im z < 3 говорит о

том, что координата y точки z

заключена между 1 и 3. Множество

Рис. 8.3

таких

точек z образует

полосу,

y =1

и y = 3 .

лежащую между

горизонтальными прямыми

Искомое множество является пересечением круга и полосы, изображенным на рис. 8.3; граница не входит в заштрихованное множество.

203

Задача 8.9. Изобразить на комплексной плоскости

область,

заданную

системой

неравенств:

z −3i

< 2 ,

arg z −

< π ,

Im z < 4 .

Решение. 1) Изобразим множество

точек

z ,

удовлетворяющих неравенству

z −3i

< 2 ,

т.е. удаленных от

точки

z0 = 3i

на

расстояние,

меньшее

2 .

Эти

точки

заполняют внутренность круга с центром z0 = 3i и радиусом

Рис. 8.4, а						Рис. 8.4, б
2 - рис. 8.4,	а; граница круга не принадлежит множеству.
2)	Неравенство				arg z −π			<	π	равносильно
2)	Неравенство				arg z −π			<	π	равносильно
						2			6
соотношениям −		π < arg z −	π	< π		, или		π	< arg z −π		< 2π .
Точки	z ,	6	2	6			3			2	3
Точки	z ,	аргумент	которых удовлетворяет								данному
						условию,				заполняют
						внутренность					сектора,
						образованного					лучами,
						идущими под углами π 3 и
						2π 3 к оси OX - рис. 8.4, б.

Рис. 8.4, в

204

3) Изобразим множество Im z < 4 .	Оно	является
полуплоскостью, лежащей под прямой y = 4	—	рис. 8.4, в;

сама эта прямая не входит в множество.

4)Искомым множеством является пересечение

построенных множеств, т.е. треугольник Рис. 8.4, в со "скругленными" углами — рис. 8.4, г. Граница не входит в множество.

Задача 8.10. Замкнутую область, изображенную на рис. 8.5, задать системой неравенств.

Рис. 8.4, г	Рис. 8.5
Решение. Точки указанной области лежат в замкнутом
круге с центром	z0 = −2i радиуса 2 . Поэтому они

удовлетворяют неравенству z + 2i ≤2 . Кроме того, эти точки

лежат внутри сектора с вершиной в начале координат, что накладывает условие на их аргументы. Удобно пользоваться главным значением аргумента, для которого −π< arg z ≤π .

Для точек данной области	arg z угол отсчитывается от
оси OX по часовой стрелке	и, следовательно,	является
отрицательным: −3π 4 < arg z ≤−π 6 . Итак,		нужными

неравенствами являются z + 2i ≤2 , −3π 4 < arg z ≤−π 6 .

205

Источник: https://studfile.net/preview/16565872/

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)