Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Задача 8.2. Найти все значения корня												4 −1−i		3
												2
Решение.				1)	Найдем			модуль и				аргумент				числа
z = −1 −i	3	стоящего под знаком корня:
z = −1 −i	2	стоящего под знаком корня:
2	2
				2		3	2	1		3					1
			1			3		1		3					1
r =	−			+−			=		+		=1; cosϕ= −					;
r =	−		2	+−		2	=	4	+	4	=1; cosϕ= −				2	;
			2			2		4		4					2

						sin ϕ= −			3	.
						sin ϕ= −			2	.
									2
Следовательно, ϕ лежит в 3-й четверти, и ϕ= −													2π	+ 2πk ,
Следовательно, ϕ лежит в 3-й четверти, и ϕ= −														+ 2πk ,
												3

k].

2)Применим формулу (1.12); в качестве ϕ можно взять любое из найденных значений, например ϕ= −23π . Получим

							2π									2π
						− + 2πk									− +
	−1−i 3					− + 2πk									− +				2πk
	−1−i 3						3									3
4			4				3									3
		=		1	cos								+i sin								=
	2								4									4
	2								4									4



								π			π						π		π
								π		+	π	k					π	+	π
				= cos −						+		k		+i sin −				+		k , k = 0,1, 2,3.
								6			2						6		2
								6			2						6		2

Подставляя каждое из указанных значений fc, найдем искомые значения корня:

						3		1
ω0		π		π	=	3	−i	1	;
ω0	= cos −		+i sin −		=		−i		;
						2		2
		6		6		2		2

196

	ω1		= cos			π +i sin π								=	1	+i		3
	ω1		= cos			π +i sin π								=	2	+i		2
					3			3							2			2
	ω2		= cos			5π		+i sin		5π			= −		3	+i		1
	ω2		= cos		6			+i sin		6					2	+i		2
					6					6					2			2
	ω3		= cos			4π		+i sin		4π				= −1		−i		3
	ω3		= cos		3			+i sin		3				= −1		−i		2
					3					3					2			2
Другие значения k новых чисел ωk														уже не дадут.
Задача 8.3. Выполнить действия над комплексными
числами: 3		(2−2i)4 + 72 + 4i								. Изобразить найденные числа на
			1−2i		)		2 +5i
			(		)
комплексной плоскости.
Решение. 1) Число (2−2i), которое возводится в степень
4 , представим в тригонометрической форме:
			r =	z		= 2 2 + −2						)	2	= 8 = 2 2 ;
			r =	z		= 2 2 + −2							2	= 8 = 2 2 ;
										(
			cosϕ=					2	=	1	,			sin ϕ= −		1	.
			cosϕ=					2	=	2	,			sin ϕ= −		2	.
							2	2		2						2

следовательно ϕ, лежит в 4-й четверти, и ϕ= −π4 . Отсюда

		π		π
2−2i = 2 2
2−2i = 2 2	cos −		+i sin −	.

		4		4

2) Выполним действия возведения в степень. Степень (2−2i)4 найдем по формуле Муавра:

197

(2−2i)4 = (2 2)4 cos −44π +i sin −44π =

= 64(−1+i0)= −64 .

Для нахождения (1 — 2г)2 удобнее применить алгебраическую формулу сокращенного умножения:

(1−2i)2 =1−4i +(2i)2 =1−4i −4 = −3−4i .

3) Выполним сложение чисел в алгебраической форме:

(2−2i)4 + 72 + 4i = −64 +72 + 4i = 8 + 4i ;

(1−2i)2 +5i = −3−4i +5i = −3+i .

4) Выполним деление чисел в алгебраической форме. Для этого домножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю:

	8 + 4i		(		)(		)					−24−12i −8i + 4
		=	8		+ 4i −3−i				=											=
	−3+i	=		(−3+i)(−3−i)					=				−3				2	+1		=
													(			)
																		=	−20−20i				= −2−2i .
																				10
5)			Извлечем			кубический								корень,					применив				формулу
Муавра.					Вначале			представим										число			(		−2i	)	в
Муавра.					Вначале			представим										число			−2		−2i		в
тригонометрической форме:
					r = −2						)	2	+ −2		)	2	= 8 = 2 2 ;
						(					)		(		)
					cosϕ= −					2			= −	1			;	sin ϕ= −			1	,
					cosϕ= −							2	= −		2		;	sin ϕ= −			2	,
							2					2			2						2

198

следовательно, ϕ лежит в 3-й четверти, и ϕ= −3π4 (можно взять ϕ= 5π4 );

−2−2i = 2 2 cos −34π +i sin −34π .

По формуле (1.12)

−3π

+ 2πk

−3π + 2πk

−2−2 i =

2 2

cos

+i sin

k = 0,1, 2 .

Так как 3 2

2 =

2 , то при k = 0

ω0 =

cos

−

+i sin

=1−i ;

при

−

k =1

5π

ω1 =

cos

+i sin

;

при k = 2

13π

Рис. 8.1

ω2 =

cos

+i sin

6) Изобразим найденные числа на комплексной

плоскости

(рис.

8.1).

Точки

ω0 ,

ω1 ,

ω2

расположены в

вершинах правильного треугольника с центром в начале координат.

199

Задача 8.4. Найти все решения уравнения z 6 + 28 z 3 +

+27 = 0 .

Решение. По основной теореме алгебры уравнение имеет шесть корней (возможно, среди них есть совпадающие).

Сделаем

замену

переменного

t = z 3 :

t 2 + 28t + 27 = 0 ;

дискриминант D = 28 2 −4 27 = 676 = 26 2 ;

корни

t1 = −27 ,

t 2 = −1.

Найдем значения z . При t1 = −27 имеем z 3 = −27 . Для

аргумента ϕ числа −27 получаем

cosϕ= −1,

sin ϕ= 0 .

Поэтому ϕ= π, и t1 = −27 = 27(cos π+i sin π).

По формуле

(1.12)

z = 3 t1

π+ 2πk

+i sin

π+ 2πk

k = 0,1, 2.

27 cos

Отсюда

при

k = 0

z1 =

cos

+i sin

;

при

k =1

z 2 = 3(cos π+i sin π)= −3 ;

5π

при

k = 2

cos

+i sin

−i

;

Для t2 = −1 будет r =1 , ϕ= π. Аналогично получаем

+i sin

z5 = −1;

z6 =

−i

=1 cos

;

Итак, все корни уравнения оказались различными.

200

Источник: https://studfile.net/preview/16565872/

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)