Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

выбрать произвольно. Например, возьмем ϕ0 = 0 , z0 = i .

Тогда получим ω = ω4 −i .

ω4 +i

4) Искомое отображение будет композицией указанных выше отображений:

π 1−i

)

(

iπ

ω3

exp

−

−i

ω4 −i

−i

ω =

ω3

π 1−i

)

(

iπ

exp

−

Задача 8.19. Найти все значения степени (− 3 +i)−6i .

Решение. Согласно определению общей степенной функции

(− 3 +i)−6i = e−6i Ln(− 3+i) .

Значения логарифма найдем по формуле:

Ln(− 3 +i)= Ln		− 3 +i	+i(arg(− 3 +i)+ 2πk);

− 3 +i	= (− 3)2 +1 = 2 ; cosϕ= −			3	, sin ϕ=	1	,

				2		2

где ϕ= arg(− 3 +i). Поэтому ϕ лежит во второй четверти. Следовательно, ϕ= 5π6 . Получаем

(− 3 +i)−6t =

216

= exp −6i ln 2 +i 56π + 2πk = exp(5π+12πk −i6 ln 2)=

(	)
= exp(5π+12πk) cos(6ln 2)−i sin(6ln 2) , k ].
Мы получили, что данная степень	(− 3 +i)−6i имеет

бесконечное множество значений. Все эти значения лежат на одном луче, идущем под углом θ = −6 ln 2 к оси OX . Модули этих значений образуют две геометрические прогрессии с

первым членом	b = e5π	и знаменателями q = e12π	при
	1

k =1, 2,3,... , и q = e−12π при k = −1,−2,−3,...

Задача 8.20. Найти все значения функции

Arc cos(−5i).

Решение. По формуле (4.3)

Arc cos(−5i)= i Ln(−5i + (−5i)2 −1)= i Ln(−5i + −26)=

(	)
= i Ln(−5i ±i 26)= i Ln i(−5i ± 26) .
Мы пишем ± перед 26 , поскольку под корнем	из

положительного числа обычно понимается арифметическое значение корня, в то время как под корнем в формуле (4.3) подразумевается двузначная функция. Рассмотрим каждый из знаков перед корнем отдельно:

	i(−5i + 26)	= 26 −5 =( 26 +5)−1		(		)
			,	arg i(−5 +		6) = π 2
(мы воспользовались равенством (			26 −5)(		26 +5)=1). По
формуле (4.5)

217

(

)

+ 2πk)=

i Ln i(−5

+ 26)

= i ln( 26 −5)−(π 2

= −i ln( 26 +5)−(π 2 + 2πk), k ].

Аналогично,

i(−5− 26)

(

)

26 +5 ,

arg −i(

26 +5)

= −π 2 ,

(

)

(

)

i Ln −i

)

(

2 +

2πk

)

26 +5 = i ln 26 +5 − −π

= i ln( 26 +5)+(π 2 + 2πk), k ].

Мы пишем +2πk вместо −2πk , поскольку k

пробегает все

множество целых чисел. Окончательно получаем

(

)

(

)

, k = 0,±1,±2,...

Arc cos −5i

= ± π 2

+ 2πk +i ln 26 +5

Можно было рассмотреть только один случай и воспользоваться общим замечанием, сделанным в п.4.3, согласно которому изменение знака перед корнем приводит к

изменению знака перед логарифмом Ln(z +									z 2 +1).
Задача	8.21.	Найти			все		значения			функции
Arctg −2 3 +3i .
3
Решение. По формуле (4.4) при z = (−2									3 +3i)	3 имеем
	Arctg z =	1	Ln	i −z	=	1	Ln		2 3	;
	Arctg z =	2i	Ln	i + z	=	2i	Ln	−2 3 + 6i		;
		2i		i + z		2i		−2 3 + 6i

218

2 3

−1−i 3 ;

−2 3 + 6i

−1+i 3

−1−i 3

;

arg −1−i

3 = ϕ= −2π .

= 1

1+i

Равенство

для

ϕследует

из

того,

что

sin ϕ= − 3

2 ,

cosϕ= −1 2 . Отсюда получаем

−2 3 +3i

1 1 2π

Arctg

+i −

+ 2πn =

= −π

+ πn +

= −

π + πn +

ln 2 ,

n = 0,±1,±2,...

Интегрирование функций комплексного

переменного.

Задача 8.22. Вычислить интеграл от функции

f (z)= z 2

по

кривой

Γ,

являющейся

ломаной

ABC ,

где

(

)

A −1, 0

(

)

(

)

B 0,1

, C 1, 0

Решение. 1) Зададим кривую уравнением вида

( )

, α≤t ≤β.

z = z t

= x t

+i y t

Поскольку кривая состоит из двух участков — отрезков AB и BC , задаваемых разными уравнениями, то рассмотрим каждый из них отдельно.

219

	Участок		AB	можно	задать		уравнением			y = x +1,
−1≤ x ≤0		или,		в параметрической				форме,		( )	= t ,
										x t
( )			( )	(		)
y t	= t +1, т.е. z t			= t +i t	+1 , −1≤t ≤0 .
	Участок		BC задается уравнением y = −x +1,							0 ≤ x ≤1.
Параметрическими				уравнениями			отрезка		BC	являются
( )	( )				( )		(	)	, 0 ≤t ≤1 .
x t	= t , y	t	= −t +1, или z t			= t +i −t +1

2) Найдем интеграл по кривой Γ по формуле

∫ f (z)dz = ∫ f (z(t))z′(t)dt .

Γα

Для этого перейдем к сумме интегралов по участкам AB и BC и вычислим каждый из них в отдельности.

Для участка AB

									( )			=1+i ;
									z′		t	=1+i ;
∫		∫(				)	2 dz =	0							2	z′ t
	z 2dz =		x	−i y			2 dz =		t −i t +1						2	z′ t		dt =
								∫(			(			))			( )
Γ1		Γ1						−1
				0			−2it t +1 − t +1 2
		=			t 2		−2it t +1 − t +1 2									1+i			dt =
				∫(			(		)		(			) )(			)
				−1
					0	(	2t 2 −1+i(−2t 2										)
					∫	(											)
				=										−4t −1) dt						=
					−1
		2t 2					2t		3				2			0				1 i
		2t 2					2t		3							0				1 i

					−t					−2t							= −				+		.

		=		3			+i −	3						−t						3		3
				3				3								−1				3		3

Для участка BC

z′(t) =1−i ;

220

Источник: https://studfile.net/preview/16565872/

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)