Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

z 2

−1

(

)

(

)

′

2n−1 z

2n−2

∞

2n−1 z

2n−2

∑

=1+

+...+

+... =

n=0

Таким образом,

f (z)= ∑

(

)

∞

−1 z 2n−2

n=0

В силу свойства 4.8 полученный ряд имеет тот же круг сходимости, что и ряд (8.2), т.е. z < ∞.

Задача 8.27. Разложить функцию

f (z)=		z −6
					.
	(	z + 2	)(	z −5
				)

в ряд Тейлора в окрестности точки z0 = 3 и указать круг

сходимости полученного ряда.

Решение. 1) Сделаем замену переменного: ω = z −z0 = = z −3 , откуда z = ω+3 . Тогда

	z −6			=		ω−3			.
(	z + 2	)(	z −5		(	ω+5 ω	−2	)
			)			)(

2) Разложим полученную дробь в сумму простейших дробей:

ω−3

(

ω−2

)

(

)

+ B

ω+5

(

ω+5 ω−2

)

ω+5

ω−2

(

ω+5 ω−2

)

)(

(

ω−2

)

(

)

Следовательно, ω−3 = A

+ B

ω+5 .

При ω = 2 имеем 2−3 = B(2 +5), т.е. B = −17 . При ω = −5 имеем −5−3 = A(−5−2), т.е. A = 87 . Таким образом,

226

ω−3	=	8	1	−	1	1	.
(ω+5)(ω−2)		7	ω+5		7	ω−2

3) Каждую из полученных дробей разложим в ряд по степеням переменного ω , используя равенство (6.14):

1	=1−z + z 2 −...+ −1	n z n +... =	∞	n z n ,	z
			−1			<1.

1+ z	( )		∑( )
			n=0

(8.3)

Чтобы воспользоваться этой формулой, преобразуем дробь 1 (ω+5), вынеся в знаменателе за скобки множитель 5 :

					8			1		=	8		1			.
					8	ω+5				=		1+ω			5	.
					7	ω+5					7 5	1+ω			5
Подставляя в (8.3) ω 5 вместо z , получим
8	1		8		ω		ω	2					n ω	n
8	1		8		ω		ω			(		)	n ω
										(		)			+...
		=		1−	+				−...+ −1						+...		=
7	ω+5 7 5				5 5			2					5	n
7	ω+5 7 5				5 5								5

= ∑∞ (−1)n 8 ωn .

n=0 7 5 n+1

Так как ряд (8.3) сходится при z <1, то полученный ряд будет сходиться при ω 5 <1 , т.е. при ω < 5 .

Аналогично раскладываем дробь 1 (ω−2). Для этого выносим за скобки −2 :

−17 ω−1 2 = 712 1−1ω2 ,

иподставляем в (33.3)

∞

∑

−

+...+

+...

n+1

ω−2 7 2

2 2

7 2

n=0

Здесь кругом сходимости будет ω 2

<1, т.е.

< 2 .

227

Складывая полученные разложения, имеем

ω−3

∞

−1 n 8

∞

= ∑

( )

ωn + ∑

ωn =

(ω+5)(ω−2)

n+1

n=0

7 5

n=0

7 2

∞

−1 n 8

∑

( )

5 n+1

2 n+1

n=0

причем ряд сходится в наименьшем из кругов ω < 5 и ω < 2 , т.е. в круге ω < 2 .

4)Возвращаясь к переменному z , подставляем ω = z −3

иполучаем искомое разложение:

z −6

∞

−1 n 8

∑

( )

f (z)=

(z −3) ,

n+1

(z + 2)(z −5)

n=0

z −3 < 2 .

Заметим, что круг сходимости ряда Тейлора можно было найти сразу, пользуясь тем фактом, что радиус сходимости R равен расстоянию от z0 до ближайшей к z0 особой точки

функции f (z). В нашем случае f (z) имеет две особые точки z1 = −2 и z2 = 5 ; ближайшей к z0 = 3 является z2 , и R = 5−

−3 = 2 .

Задача 8.28. Найти все лорановские разложения функции

f (z)=		z −2
	(	z +1	z −3
		)(	)

по степеням (z −3) .

228

Решение. 1) Сделаем замену переменного: ω = z −3 , т.е. z = ω+3 . Тогда

z −2

ω+1

= g (ω).

(z +1)(z −3)

(ω+ 4)ω

2) Разложим полученную дробь в сумму простейших

дробей:

ω+1

A(ω+ 4)+ Bω

(ω+ 4)ω

ω+ 4

(ω+ 4)ω

откуда ω+1= A(ω+ 4)+ Bω.

При ω = 0 имеем 1= 4A , т.е.

A =1 4 .

При ω = −4 имеем −3 = −4B , т.е. B = 3 4 .

Таким образом,

g (ω)=

ω+1

+ 3

(ω+ 4)ω

ω+ 4

3) Функция g (ω)

имеет особые точки ω = 0 и ω = −4 .

Следовательно, она аналитична в кольцах V1 = {0 < ω < 4} и V2 = {4 < ω < ∞}. Найдем лорановские разложения в каждом из этих колец. Для этого надо разложить дробь 1 (ω+ 4) в ряд по степеням переменного ω , пользуясь формулой (33.3).

В случае			0 <				ω			< 4	выносим за скобки в знаменателе
В случае			0 <				ω			< 4	выносим за скобки в знаменателе
множитель 4 :
3	1	=		3					1			=
3	ω+ 4	=		4 4					1+ω 4			=
4	ω+ 4			4 4					1+ω 4
					3					ω ω2				( )	n ωn
		=									+						+...	=

								1−						−...+ −1
				4		2			4			4	2		4	n
				4					4			4			4

229

∞

−1 n 3

ωn

= ∑

(

n+) 2

n=0

(мы

подставили

(8.3)

ω 4

вместо z ). Так

как ряд

(8.3)

сходится при

<1,

то полученный ряд сходится при

< 4 .

Итак, для ω V1

∞

−1 n 3

g (ω)= 14

+ ∑n=0

( )

ωn ,

0 <

< 4 .

4 n+2

При

> 4

полученный ряд расходится. Поэтому для

разложения функции

g (ω) в кольце V2

вынесем за скобки в

знаменателе дроби 1 (ω+ 4) множитель ω :

+ 4

1+ 4 ω

4 ω

Если

> 4 ,

то

4 ω <1. Поэтому можно подставить в (8.3)

4 ω вместо z :

(

)

+...

1−

−...+ −1

ω ω

4 ω+ 4 4 ω

−

+ 3 4

−...+ −1

n 3 4 n−1

+... =

4ω

ωn+1

ω2

ω3

(

)

∞

−1 n

3 4 n−1 ωn−1 =

−∞

−1 k+1

ωk

k+2

4ω

∑(

)

4ω

∑(

)

n=1

k=−2

(мы сделали замену

k = −n −1, откуда

n = −k −1 и

−1

n =

(

)

= −1

−k−1

= −1

k+1 . Таким образом, при ω V

(

)

(

)

(

−∞

−1

k+1

ωk =

k+2

)

4 ω

∑(

)

k=−2

−∞

−1 k+1

ωk .

k +2

∑

(

)

k=−2

230

Источник: https://studfile.net/preview/16565872/

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)