Материал: Высшая математика. Теория функций комплексного переменного. Пантелеев И.Н

4) Возвращаемся к переменному z , подставляя ω = z −3 . Искомыми разложениями функции f (z) будут

Если требуется найти лорановское разложение лишь в проколотой окрестности особой точки (например, точки z0 = 3 ), то указанные выше действия выполняются лишь для

одного из колец (в данном случае для кольца V1 ).

Изолированные особые точки и теория вычетов.

Задача 8.29. Найти разложение функции

f(z)= (z + 2)2 e z(z+2)

вряд Лорана в окрестности точки z0 = −2 . Указать кольцо

сходимости, правильную и главную части разложения, а также тип особой точки z0 .

Решение. 1) Сделаем замену переменного ω = z + 2 . Тогда z = ω−2 ,

f (z)= (z + 2)2 e z(z+2) = ω2e(ω−2) ω = ω2e1−2 ω = e ω2e−2 ω .

2) Воспользуемся известным разложением функции e z

— формулой (33.1), в которую подставим −2ω вместо z :

231

Поскольку главная часть имеет бесконечно много отличных от нуля коэффициентов, то z0 = −2 является существенно

особой точкой.

232

Задача 33.30. Определить тип особой точки z0 = 0 функции

Решение. Разложим числитель и знаменатель в ряд Тейлора по степеням z . Для этого используем известное разложение функции cos z (формула (6.13)):

причем ряды сходятся во всей комплексной плоскости.

e z 3 −1−z 3 =1+ z 3 −1−z 3 + (z 3 )2 + (z 3 )3 +... = 2! 3!

= z 6 1 + z 3 +... .

2 3!

Полученный ряд (как и ряд (8.1)) сходится при всех z ^. Отсюда

233

z0 = 0 является полюсом порядка N = 4 .

Задача 8.31. Найти все изолированные особые точки функции

f (z)= sin1z

(z 2 +9)2

и определить их тип.

Решение. Конечными особыми точками являются z1 = 0 ,

а также точки, в которых z 2 +9 = 0 , т.е. z2 = 3i и z3 = −3i . Поэтому особая точка z4 = ∞ тоже является изолированной,

так как найдется окрестность z > R , не содержащая других особых точек.

234

различны. Следовательно, функция f (z) не имеет предела при z → 0 . Поэтому точка z1 = 0 является существенно особой.

Для рассмотрения точек z2 и z3 разложим знаменатель на множители. Так как

z 2 +9 = (z −3i)(z +3i),

Поскольку функция h(z) аналитична в окрестности точки z2 = 3i и

235