Материал: Загребаев Лектсии по теории вероятностеы и математическоы статистике 2015
|
|
|
|
|
|
Продолжение табл. 17.3 |
||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
8 |
90 |
100 |
−1,01 |
−0,74 |
0,16 |
0,23 |
71 |
69 |
9 |
100 |
110 |
−0,74 |
−0,48 |
0,23 |
0,32 |
86 |
72 |
10 |
110 |
120 |
−0,48 |
−0,21 |
0,32 |
0,41 |
98 |
87 |
11 |
120 |
130 |
−0,21 |
0,05 |
0,41 |
0,52 |
103 |
88 |
12 |
10 |
140 |
0,05 |
0,31 |
0,52 |
0,62 |
102 |
97 |
13 |
140 |
150 |
0,31 |
0,58 |
0,62 |
0,72 |
94 |
114 |
14 |
150 |
160 |
0,58 |
0,84 |
0,72 |
0,80 |
81 |
87 |
15 |
160 |
170 |
0,84 |
1,11 |
0,80 |
0,87 |
64 |
69 |
16 |
170 |
180 |
1,11 |
1,37 |
0,87 |
0,92 |
48 |
55 |
17 |
180 |
190 |
1,37 |
1,64 |
0,92 |
0,95 |
33 |
33 |
18 |
190 |
200 |
1,64 |
1,91 |
0,95 |
0,97 |
22 |
28 |
19 |
200 |
210 |
1,91 |
2,17 |
0,97 |
0,98 |
13 |
8 |
20 |
210 |
220 |
2,17 |
2,60 |
0,98 |
0,99 |
7 |
8 |
Для расчета теоретических частот весь временной интервал был разбит на 20 частей. В столбцах 2 и 3 показаны правая xi+1 и
левая xi границы интервалов соответственно. Затем рассчитыва-
лись середины интервалов |
x′ = |
xi + xi+1 |
|
и среднее выборочное зна- |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
i |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n |
xi′ mi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чение x = |
i=1 |
|
. В столбцах 4 и 5 представлены границы нор- |
|||||||||||||
|
n |
|||||||||||||||
|
|
|
|
xi − x |
|
|
|
|
|
xi+1 − x |
|
|
||||
мированных интервалов z |
= |
и z |
i+1 |
= |
. |
Исправленная |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
i |
|
sx |
|
|
sx |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
выборочная дисперсия определялась по формуле |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
(xi − x)2 mi |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
sx = |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
n − 1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
146
Для границ интервалов вычислялись значения функции распреде-
|
|
|
z |
|
y2 |
|
|
|
|
|
z |
|
y2 |
|
||
|
|
1 |
i |
− |
|
|
|
|
|
|
1 |
i+1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ления |
F(z ) = |
|
|
|
2 dy |
и F(z |
i+1 |
) = |
= |
|
|
|
2 dy. |
От- |
||
|
|
|||||||||||||||
|
i |
σ 2π |
|
|
|
|
|
|
σ 2π |
|
|
|
|
|||
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
метим, что при этом использовалась стандартная функция НОРМРАСП (Вставка → Функция → Статистические →
НОРМРАСП).
Рис. 17.4. Окно функции НОРМПАСП
Теоретическая вероятность попадания в интервал i = zi+1 − zi есть pi = F(zi+1) − F(zi ), а теоретическая частота npi . Округлен-
ная до целых чисел теоретическая частота представлена в столбце 8 табл. 17.3. Для сравнения в столбце 9 приведены эмпирические
частоты. Далее вычислялось значение χнабл2 |
l |
(m − np )2 |
||
= |
i |
i |
= |
|
|
i=1 |
npi |
|
|
= 21,62. По таблицам критических точек распределения χ2 |
нахо- |
|||
дим критическое значение χкр2 = 27,6. |
|
|
|
|
147
Таблица 17.4
Число степеней |
|
|
|
|
Уровень значимости α |
|
|||||||
свободы k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0.01 |
|
0,025 |
|
|
0,05 |
|
0,95 |
0,975 |
0,89 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
6,6 |
|
5,0 |
|
3,8 |
|
0,0039 |
0,00098 |
0,00016 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33,4 |
|
30,2 |
|
|
|
|
8,67 |
7,56 |
6,41 |
17 |
27,6 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
30 |
|
50,9 |
|
47,0 |
|
43,8 |
18,5 |
16.8 |
15,0 |
||||
Так как χнабл2 |
< χкр2 , |
то нет оснований отвергать гипотезу о |
|||||||||||
нормальном законе распределении времени обслуживания кассиром клиента.
Вместо послесловия
Вот вы и прослушали (или прочитали) элементарные сведения из теории вероятностей и математической статистики. Что-то поняли, что-то нет. Огорчаться не стоит. К непонятному месту можно еще раз вернуться. Важно другое – можете ли вы посмотреть с позиций теории вероятностей и математической статистики на возникающую в вашей профессиональной деятельности проблему и сформулировать ее как математическую задачу. Это самое сложное. Если в математическом плане задача подходит под те, которые мы рассматривали – смело приступайте к решению, если нет – посмотрите дополнительную литературу. Мы же рассмотрели для примера только некоторые задачи теории вероятностей и математической статистики. И еще, вы не должны бояться читать книги по данному предмету. Хороших книг очень много – все не перечислить. Поскольку данный предмет не является вашей специальностью, – я не рекомендовал бы вам читать «очень умные» математические книжки. Начните с тех, где доступно излагаются основные идеи и методы. Список литературы прилагается. Желаю успеха!
148
Приложение 1
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
z2 |
||
|
|
|
|
|
|
Φ(x) = |
|
|
− |
|
|
||
|
Таблица значений функции Лапласа |
|
2 |
|
dz |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
x |
|
Φ(x) |
x |
Φ(x) |
x |
Φ(x) |
|
|
x |
|
|
Φ(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,00 |
|
0,0000 |
0,24 |
0,0948 |
0,48 |
0,1844 |
|
|
0,72 |
|
0,2642 |
||
0,01 |
|
0,0040 |
0,25 |
0,0987 |
0,49 |
0,1879 |
|
|
0,73 |
|
0,2673 |
||
0,02 |
|
0,0080 |
0,26 |
0,1026 |
0,50 |
0,1915 |
|
|
0,74 |
|
0,2703 |
||
0,03 |
|
0,0120 |
0,27 |
0,1064 |
0,51 |
0,1950 |
|
|
0,75 |
|
0.2734 |
||
0,04 |
|
0,0160 |
0,28 |
0,1103 |
0,52 |
0,1985 |
|
|
0,76 |
|
0,2764 |
||
0,05 |
|
0,0199 |
0,29 |
0,1141 |
0,53 |
0,2019 |
|
|
0,77 |
|
0,2794 |
||
0,06 |
|
0,0239 |
0,30 |
0,1179 |
0,54 |
0,2054 |
|
|
0,78 |
|
0,2823 |
||
0,07 |
|
0,0279 |
0,31 |
0,1217 |
0,55 |
0,2088 |
|
|
0,79 |
|
0,2852 |
||
0,08 |
|
0,0319 |
0,32 |
0,1255 |
0,56 |
0,2123 |
|
|
0,80 |
|
0,2881 |
||
0,09 |
|
0,0359 |
0,33 |
0,1293 |
0,57 |
0,2157 |
|
|
0,81 |
|
0,2910 |
||
0,10 |
|
0,0398 |
0,34 |
0,1331 |
0,58 |
0,2190 |
|
|
0,82 |
|
0,2939 |
||
0,11 |
|
0,0438 |
0,35 |
0,1368 |
0,59 |
0,2224 |
|
|
0,83 |
|
0,2967 |
||
0,12 |
|
0,0478 |
0,36 |
0,1406 |
0,60 |
0,2257 |
|
|
0,84 |
|
0,2995 |
||
0,13 |
|
0,0517 |
0,37 |
0,1443 |
0,61 |
0,2291 |
|
|
0,85 |
|
0,3023 |
||
0,14 |
|
0,0557 |
0,38 |
0,1480 |
0,62 |
0,2324 |
|
|
0,86 |
|
0,3051 |
||
0,15 |
|
0,0596 |
0,39 |
0,1517 |
0,63 |
0,2357 |
|
|
0,87 |
|
0,3078 |
||
0,16 |
|
0,0636 |
0,40 |
0,1554 |
0,64 |
0,2389 |
|
|
0,88 |
|
0,3106 |
||
0,17 |
|
0,0675 |
0,41 |
0,1591 |
0,65 |
0,2422 |
|
|
0,89 |
|
0,3133 |
||
0,18 |
|
0,0714 |
0,42 |
0,1628 |
0,66 |
0,2454 |
|
|
0,90 |
|
0,3159 |
||
0,19 |
|
0,0753 |
0,43 |
0,1664 |
0,67 |
0,2486 |
|
|
0,91 |
|
0,3186 |
||
0,20 |
|
0,0793 |
0,44 |
0,1700 |
0,68 |
0,2517 |
|
|
0,92 |
|
0,3212 |
||
0,21 |
|
0,0832 |
0,45 |
0,1736 |
0,69 |
0,2549 |
|
|
0,93 |
|
0,3238 |
||
0,22 |
|
0,0871 |
0,46 |
0,1772 |
0,70 |
0,2580 |
|
|
0,94 |
|
0,3264 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
149
Продолжение приложения 1
x |
Φ(x) |
x |
Φ(x) |
x |
|
Φ(x) |
x |
Φ(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,23 |
0,0910 |
0,47 |
0,1808 |
|
0,71 |
0,2611 |
0,95 |
0,3289 |
|
0,96 |
0,3315 |
1,37 |
0,4147 |
|
1,78 |
0,4625 |
2,30 |
0,4909 |
|
0,97 |
0,3340 |
1,38 |
0,4162 |
|
1,79 |
0,4633 |
2,38 |
0,4913 |
|
0,98 |
0,3365 |
1,39 |
0,4177 |
|
1,80 |
0,4641 |
2,40 |
0,4918 |
|
0,99 |
0,3389 |
1,40 |
0,4192 |
|
1,81 |
0,4649 |
2,42 |
0,4922 |
|
1,00 |
0,3413 |
1,41 |
0,4207 |
|
1,82 |
0,4656 |
2,44 |
0,4927 |
|
1,01 |
0,3438 |
1,42 |
0,4222 |
|
1,83 |
0,4664 |
2,46 |
0,4931 |
|
1,02 |
0,3461 |
1,43 |
0,4236 |
|
1,84 |
0,4671 |
2,48 |
0,4934 |
|
1,03 |
0,3485 |
1,44 |
0,4251 |
|
1,85 |
0,4678 |
2,50 |
0,4938 |
|
1,04 |
0,3508 |
1,45 |
0,4265 |
|
1,86 |
0,4686 |
2,52 |
0,4941 |
|
1,05 |
0,3531 |
1,46 |
0,4279 |
|
1,87 |
0,4693 |
2,54 |
0,4945 |
|
1,06 |
0,3554 |
1,47 |
0,4292 |
|
1,88 |
0,4699 |
2,56 |
0,4948 |
|
1,07 |
0,3577 |
1,48 |
0,4306 |
|
1,89 |
0,4706 |
2,58 |
0,4951 |
|
1,08 |
0,3599 |
1,49 |
0,4319 |
|
1,90 |
0,4713 |
2,60 |
0,4953 |
|
1,09 |
0,3621 |
1,50 |
0,4332 |
|
1,91 |
0,4719 |
2,62 |
0,4956 |
|
1,10 |
0,3643 |
1,51 |
0,4345 |
|
1,92 |
0,4726 |
2,64 |
0,4959 |
|
1,11 |
0,3665 |
1,52 |
0,4357 |
|
1,93 |
0,4732 |
2,66 |
0,4961 |
|
1,12 |
0,3686 |
1,53 |
0,4370 |
|
1,94 |
0,4738 |
2,68 |
0,4963 |
|
1,13 |
0,3608 |
1,54 |
0,4382 |
|
1,95 |
0,4744 |
2,70 |
0,4965 |
|
1,14 |
0,3729 |
1,55 |
0,4394 |
|
1,96 |
0,4750 |
2,72 |
0,4967 |
|
1,15 |
0,3749 |
1,56 |
0,4406 |
|
1,97 |
0,4756 |
2,74 |
0,4969 |
|
1,16 |
0,3770 |
1,57 |
0,4418 |
|
1,98 |
0,4761 |
2,76 |
0,4971 |
|
1,17 |
0,3790 |
1,58 |
0,4429 |
|
1,99 |
0,4767 |
2,78 |
0,4973 |
|
1,18 |
0,3810 |
11,59 |
0,4441 |
|
2,00 |
0,4772 |
2,80 |
0,4974 |
|
1,19 |
0,3830 |
1,60 |
0,4452 |
|
2,02 |
0,4783 |
2,82 |
0,4976 |
|
1,20 |
0,3849 |
1,61 |
0,4463 |
|
|
0,4793 |
2,84 |
0,4977 |
|
|
2,04 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
150