Материал: Загребаев Лектсии по теории вероятностеы и математическоы статистике 2015
|
1 |
n |
1 |
m |
|||
Так как Sx2 = |
|
|
)2 и Sy2 = |
(Yi − Y )2 являют- |
|||
(Xi − X |
|||||||
|
|
||||||
|
n − 1 i=1 |
m − 1 i=1 |
|||||
ся, несмещенными оценками дисперсий генеральных совокупностей X и Y соответственно, то выполняются соотношения
M[S2 |
] = D |
X |
и M[S 2 |
] = D . |
X |
|
Y |
Y |
Тогда нулевую гипотезу о равенстве дисперсий генеральных совокупностей X и Y можно записать следующим образом:
H |
: |
M[S 2 |
] = M[S 2 |
] или |
H |
: |
D |
X |
= D . |
0 |
|
X |
Y |
|
0 |
|
|
Y |
В качестве критерия в данном случае выбирают отношение
большей дисперсии к меньшей: F = Sб2 . Показано, что при спра- Sм2
ведливости нулевой гипотезы величина F подчиняется распределению Фишера−Снедекора со степенями свободы k1 = n1 − 1 и
k2 = n2 − 1. При этом n1 − объем выборки, по которой вычислена большая исправленная дисперсия, а n2 – меньшая. Оказывается, что
распределение Фишера–Снедекора зависит только от числа степеней свободы k1 и k2 и не зависит от других параметров.
Распределение Фишера–Снедекора
Если U и V – независимые случайные величины, распределенные по закону χ2 со степенями свободы k1 и k2 , то величина
F= U /k1 V /k2
имеет распределение, называемое F-распределением, или распределением Фишера–Снедекора, плотность которого определяется выражением
0, |
при x ≤ 0; |
|
|
|
|||
f (x) = |
|
|
x(k1−2)/2 |
|
|
, при x > 0. |
|
C0 |
|
|
|
|
|
|
|
(k |
|
+ k x) |
(k +k |
2 |
)/2 |
||
|
2 |
1 |
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
||
136
|
|
|
Гk1 + k2 |
kk1 |
/2kk2 /2 |
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
где C |
= |
|
|
|
, Г – гаммфункция. |
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
Г(k1 /2)Г(k2 /2) |
|
||
|
|
|
|
|||
Рис. 16.1. Плотность распределения Фишера – Снедекора
Критическая область строится исходя из вида конкурирующей гипотезы.
Рассмотрим несколько случаев:
1. H1: D[X ] > D[Y ].
Необходимо вычислить отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, т.е.
fнабл = sб2 .
sм2
Затем по таблице критических точек распределения ФишераСнедекора, по заданному уровню значимости α и числам степеней свободы k1 и k2 ( k1 – число степеней свободы большей исправлен-
ной дисперсии) найти критическую точку fкр , исходя из условия
P(F > fкр) = α .
Если fнабл > fкр , то гипотезу H0 отвергаем.
При данной конкурирующей гипотезе критическая область односторонняя.
137
2) Конкурирующая гипотеза имеет вид
H1: D[ X ] ≠ D[Y ].
В этом случае строят двустороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна при-
нятому значению α. В литературе по математической статистике доказано, что наибольшая мощность критерия достигается тогда, когда вероятность попадания в каждый из двух интервалов крити-
ческой |
области |
|
равна |
α |
. Правую критическую точку |
|||||
|
|
|
α ; k , k |
|
|
|
2 |
|
||
f |
2 |
= f |
2 |
|
находят по таблице критических точек распре- |
|||||
|
|
кр |
2 |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
деления Фишера−Снедекора. Оказывается, находить левую критическую точку нет необходимости. Если fнабл < fкр нет оснований
отвергать нулевую гипотезу. Если же fнабл > fкр , то нулевую гипотезу отвергают – точка попала в критическую область с вероятно-
стью α.
Пример. Решим поставленную задачу о выборе рекламного ролика для различных конкурирующих гипотез при уровне значимости
α = 0,05
Дано: n = m = 10 , x = 7 , y = 7 , |
sx2 = 4 , s2у = 6. |
|
|
|
|
|
|
Число степенй свободы k1 = k2 = n − 1 = 9. |
|
|
|
|
|
||
Решение. |
|
|
s2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
||
Рассчитаем наблюдаемое значение критерия |
fнабл = |
б |
= |
|
= |
||
sм2 |
4 |
||||||
= 1,5. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
1. Для конкурирующей гиротезы |
H1 : M[X ] ≠ M[Y ] строится |
||||||
двустронняя критическая область. По таблице критических точек распределения Фишера−Снедекора для α2 = 0,025 мы должны
найти правую критическую точку. Однако для такого значения ошибки первого рода таблицы критических точек в приложении нет! Воспользуемся статистическми функциями программы Excel!
138
Вставка → Функция → Мастер функций → Статистические → FРАСПОБР.
Рис. 16.2. Диалоговое окно функции FРАСПОБР
Обратим внимание, что в программе Excel функция
FРАСП( x, k1, k2 ) = P(X > x) = 1− F(X < x), т.е. дает вероятность «хвоста» за точкой x . Следовательно функция FРАСПОБР дает
по заданной вероятности попадания в «хвост» координату начала «хвоста». Таким образом, 4,025 = fправосткр – правосторонняя кри-
тическая точка. Для нахождения левосторонней точки нужно задать вероятность попадания в «хвост» P = 0,975.
Рис. 16.3. Диалоговое окно функции FРАСПОБР
139
Получим левостороннюю критическую точку fлевосткр = 0,248. Так как fнабл = 1,5 не попадает в критические области, то гипотезу о равенстве дисперсий – принимаем.
|
|
2. для конкурирующей гипотезы H1: |
D[Y ] > D[ X ] строится од- |
||||||||||||||
ностронняя критическая область. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
По заданному уровню значимости α = 0,05 |
и по степеням сво- |
||||||||||||||
боды |
k1 = k2 = n − 1 = 9 по таблицам Фишера-Снедекора находим |
||||||||||||||||
критическую точку |
fкр = 3,18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k2 |
|
|
|
Уровень значимости α = 0,05 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
230 |
6 |
7 |
8 |
|
|
9 |
|
|
|
1 |
|
161 |
200 |
|
216 |
225 |
19,30 |
234 |
237 |
239 |
|
241 |
|
|||
|
… |
… |
… |
|
… |
… |
… |
…. |
… |
… |
|
… |
|||||
|
|
9 |
|
5,12 |
4,26 |
|
3,86 |
3,63 |
3,33 |
3,37 |
3.29 |
3,23 |
|
3,18 |
|
||
|
|
… |
… |
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
… |
|
|||
|
|
И в этом случае |
fнабл < fкр , таким образом, гипотезу о равен- |
||||||||||||||
стве дисперсий генеральных совокупностей принимаем. Судя по полученным результатам, оба рекламных ролика на потребителя произведут одинаковое впечатление, значит, окончательный выбор нужно сделать исходя из других соображений.
Лекция 1 7 . ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. КРИТЕРИЙ ПИРСОНА
Ранее рассматривались способы проверки гипотез о различных параметрах закона распределения, причем сам закон распределения считался известным. Однако во многих задачах именно сам закон
распределения неизвестен, и предположнение о его виде − гипотеза, требующая проверки.
Рассмотрим такой пример. Чтобы правильно определить график загрузки касс в супермаркете, менеджеру желательно знать закон распределения времени обслуживания покупателей. (Скорее всего,
140