Материал: 01431

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

	Пример 6. Найти интеграл				3x - 2

				x3		1 dx.

	Решение								x3 1 x 1 x2 x 1 ,
	Разложим знаменатель на множители
		3x 2	3x 2		A			Bx C
тогда			x 1 x2 x 1							освобождаемся от зна-
		x3 1		x 1			x2 x 1
менателя: 3x 2 A x2 x 1 Bx C x 1 Ax2									Ax A Bx2 Bx Cx C.

Теперь приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х: x2 A B 0, A B,

x1 A B C 3,

x0 A C 2, C A 2.

Из второго уравнения получаем A A A 2 3 A 13.

					Отсюда A														1		,			B								1		,				C				7	.
					Отсюда A																,			B										,				C					.
																		3														3										3
																																															1											1			7
																										3x 2																																		x
					Следовательно,																					3x 2											dx										3				dx							3		x		3			dx
					Следовательно,																																dx														dx														dx
																		x 7									x3 1																			x 1											x2 x 1
		1		ln		x 1				1																dx.
		1								1

		3								3					x2 x 1
		3								3					x2 x 1
					Выделим полный квадрат в знаменателе подынтегрального вы-
									2							1					1				3												1			2		3
ражения x										2							x												x															.
ражения x										2							x												x															.
																2					4				4												2					4
					Произведем															подстановку																			t x										1	, dt dx, x t																1		и
					Произведем															подстановку																			t x									2		, dt dx, x t																2		и
																																																2																		2
						x 7																		t						1	7
1						x 7														1				t					2		7										1								t						1				15					dt
													dx																2								dt																dt
													dx																								dt				3												dt
	3 x2 x 1																			3							2					3									3						2			3					3				2				2				3
																									t																				t																t
																									t							4													t					4											t						4
																																4																		4																	4
		1					2				3							5					2												2t					C
					ln t																							arctg
					ln t																							arctg
		6									4							2					3													3
			1		ln x2			x 1														5				arctg							2x							1	C.
		6

																							3													3
					Ответ:							1		ln			x 1								1			ln x2							x 1											5		arctg						2x		1	C .
												1													1																					5								2x		1


										3															6																						3					3
										3															6																						3					3

							Пример 7. Найти интеграл																							sin 2 x cos5 xdx.
							Решение
sin 2 x cos5 xdx [sin x t;cos xdx dt;cos2 x 1 sin 2 x]
sin 2								x cos4 x cos xdx sin 2 x(1 sin 2 x)2 d sin x t 2 (1 t 2 )2 dt
(t 2 2t 4 t 6 )dt																			t 3				2t 5							t 7	C
(t 2 2t 4 t 6 )dt																															C
																		3					5						7
			sin 3 x						2sin 5 x								sin 7 x							C.
																								C.
						3		5										7
							Пример 8. Найти интеграл																							sin 4 x cos2 xdx.
							Решение
sin 4 x cos2 xdx sin 2 x cos2 x sin 2 xdx
				sin 2				2x 1 cos 2x										dx							1			sin 2 2xdx								1	sin 2 2x cos 2xdx
						4				2								dx								8		sin 2 2xdx								8	sin 2 2x cos 2xdx
						4				2																8										8
			1				1 cos 4x				dx						1			sin 2 2xd sin 2x																1		dx			1	cos 4xdx
											dx									sin 2 2xd sin 2x																		dx				cos 4xdx
		8						2								16																				16					16
		1				sin 2 2xd sin 2x															x						sin 4x							sin 3 2x			C.
						sin 2 2xd sin 2x																															C.
		16																16										64					48
							Пример 9. Найти интеграл																												dx					.


																														4sin x 3cos x 5
							Решение
							Используем универсальную тригонометрическую подстановку
																											2dt

								dx																	1 t 2										2				dt				dt
																																2			2			2						2
	4sin x 3cos x 5																															2						2						2
	4sin x 3cos x 5																	4				2t					3		1 t				5				2t 8t 8						(t 2)
																		4				t 2					3						5
																		1				t 2							1 t 2
						1		C					1							C.

					t 2									x
												tg			2
												tg	2		2

Пример 10.

Найти интеграл

x 2

[x 2tgt; dx

2dt

]

2dt

4 x2

cos2 t

cos2 t 2tgt 4 4tg 2t

sin tdt

d cos t

cos t 1

ln |

| C

sin t

sin 2 t

cos2 t 1

2 2

cos t 1

cos

cos t

[tgt

; cos t

]

ln |

x2 4

ln |

2 4

| C.

x2 4

Пример 11. Вычислим площадь фигуры, ограниченной параболами: y 2x 2 3x 6,

y x2 x 2.

Решение

Найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого

приравняем правые части их		уравнений:	2x2 3x 6 x2 x 2,
3x2 4x 4 0,	Д 16 4 12 64, отсюда x			4 8	2,	x			4 8		2	.
							2
		1	6					6		3

Вычисление площади осуществляется по формуле
b		f1 x , f2 x ‒ кривые, ограничивающие
S f2 x f1 x dx , где

фигуру ( f1 x f2 x ). В нашем случае

	2					2					2			2			2					x3				x2
				(1 x		2		2) 2x			2		4 dx	3x			2	4x 2 dx
S							x					3x									3		4
S							x					3x									3	3	4		2
	2													2								3			2

		3													3
			3		8			3	4				2	224		2 32			2 8	224		192		144
	2		3				2 2	3		2 2
	2						2 2			2 2
					27				9				3	27			9		3	27		27			27

2x 23

1227 94 .

Пример 12. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной

параболой y 5x 2 , прямой y 2x 7 и осью Ох.

Решение

Найдем абсциссу точки пересечения параболы и прямой в первом

				5х		2	,
квадранте из системы уравнений	у			5х			,		откуда 5x 2 2x 7,
квадранте из системы уравнений									откуда 5x 2 2x 7,
			у	2х 2,
			у	2х 2,
или 5x2 2x 7 0.

Для этого решим уравнение x					1			1 35		1 6 , x		1, x			7	,
Для этого решим уравнение x		0,1								1 6 , x		1, x	0			,
		0,1						5		5	1		0	5
								5		5				5

атакже найдем абсциссу точки пересечения прямой с осью Ох:

2x 7 0,

x2 72 .

Тогда, используя формулу для вычисления объёма тела враще-

															x		2 dx,
												V1 1 5x2					2 dx,
ния получим V V1 V2 ,														0
ния получим V V1 V2 ,															x
															x
												V2 2 2x 7 2 dx,
															x1
где V1	25x4dx 5x5										1 5 .
			1
			0								0
		7																							7
		7

		2				2											4		3			2



V2								28 x										x			14 x			49 x		2
																										2
				4x						49 dx							3
		1															3								1
		1

	4		7		3							7	2							335			7 45		49 5
	4		7									7								335			7 45		49 5
							1		14						1
							1		14						1
	3		2									2									6		2		2

	670 1890 1470														125	.
	670 1890 1470															.
12														6

Пример 13. Решить дифференциальное уравнение .

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Ответ: общий интеграл:

Пример 14. Решить уравнение

x .

y x ln x y 3x

Решение

Разделим обе части

уравнения на

xln x :

x ln x 3x

ln x ,

убеждаемся, что оно линейное. Положим

y uv ,

тогда

u v uv

и уравнение преобразуется

к виду

u v uv

lnx,

или

x lnx


u v u v

3x2 ln x .

xln x

Так как искомая функция представима в виде произведения двух вспомогательных функций u и v, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем в качестве v какой-либо частный инте-

		v

грал уравнения v	x ln x 0 .
грал уравнения v	x ln x 0 .
Тогда для отыскания функции u имеем уравнение
				2	ln x .
			u v 3x		ln x .
Получаем два уравнения с разделяющимися переменными.
Решаем первое уравнение:

d(ln x )

0 ,

ln x

0 ,

x ln x

ln x

v ln x .

ln x

(*)

0 ,

Источник: https://studfile.net/preview/16668030/

Смотрите также:






Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_-___-~1
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr