Материал: 01431

Решение

1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения .

Характеристическое уравнение:

– получены кратные действительные корни, поэтому общее решение .

2. Выясняем, в каком виде нужно искать частное решение . Смотрим на правую часть неоднородного уравнения , и сразу появляется первая версия подбора .

Далее смотрим на корни характеристического уравнения – действительные кратные корни. Приходим к выводу, что «очевидное» частное решение необходимо домножить на , т. е. частное решение следует искать в виде .

Ищем неизвестный коэффициент А. Найдем первую и вторую производные:

,

.

Подставим , и в левую часть неоднородного уравнения и максимально упростим выражение

В самом конце после упрощений приписываем исходную правую часть .

Из последнего равенства следует: . Таким образом .

3. Составим общее решение неоднородного уравнения

Сначала берём найденное общее решение и применяем к нему первое начальное условие

.

36

Согласно начальному условию получаем первое уравнение.

Далее находим производную от общего решения:

Пример. Найти общее решение неоднородного уравнения

.

Решение

1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения .

Характеристическое уравнение:

,

,

,

– получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение .

2. Частное решение неоднородного уравнения ищем в «обычном» виде: .

Выясним, чему равны коэффициенты . Найдем производные:

,

.

37

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:

(После подстановки и максимальных упрощений приписываем правую часть: ).

Из последнего равенства составим и решим систему

.

(Здесь первое уравнение умножено на 4, а затем проведено почленное вычитание: из второго уравнения почленно вычтено первое уравнение). Таким образом, подобранное частное решение

.

3. Составим общее решение неоднородного уравнения

.

Ответ: общее решение

.

Контрольные вопросы

1.Что называется дифференциальным уравнением?

2.Что называется порядком дифференциального уравнения?

3.Что называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка?

4. Что называется частным решением дифференциального уравнения?

5.Каков геометрический смысл частного решения дифференциального уравнения первого порядка?

6.Приведите примеры дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

7.Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, а какое ‒ уравнением Бернулли? Укажите способы их решения.

8.Какое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка?

9.Какое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка?

38

10.Какое уравнение называется характеристическим для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка?

11.Какой вид имеет общее решение однородного дифференциального

уравнения второго порядка в зависимости от дискриминанта характеристического уравнения?

12.Как найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?

13.Какой вид имеет частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если его правая часть есть многочлен, показательная функция, тригонометрическая функция, комбинация этих функций?

Глава 4. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Решение

Применим подстановку t x3 3x , тогда dt 3x 2 3 dx 3 x2 1 dx,

откуда et dt3 13 et C 13 ex3 3x C .

39

Решение

Применим формулу интегрирования по частям udv uv vdu . Разбиваем подынтегральное выражение на части: u 5x 1 , dv cos 7xdx,

40