Материал: 2
44.4 Доказательство формулы (39.1)
Рис 44.3
Пусть - прямая, проходящая через точку и перпендикулярная плоскости
: Ax+By+Cz+D=0 (36.4)
Обозначим за
(
( т.е.
- проекция точки
на плоскость
).
Тогда (см. рис 44.3)
)=
)
(44.5)
Найдём параметрическое уравнение прямой .
Направляющим вектором прямой
является вектор
-нормаль
к плоскости
(см. рис 44.3), а
- одна из её точек. Тогда согласно
параграфу 40, каноническое уравнение
прямой
имеет вид:
,
а её параметрическое уравнение
(44.6)
Подставив вместе x, y,
z в равенство (36.4) их
выражение через t из
формулы (44.6), получим уравнение
(44.7)
Решая уравнение (44.7) получим:
(44.8)
Мы показали
(44.4)
П
.
рис 44.2
44.3 Точка пересечения прямой и плоскости
Если задано общее уравнение прямой
(37.3)
то для того, чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью
: Ax+By+Cz+D=0 (36.4)
надо уравнение плоскости приписать к системе уравнений (37.3) задающих прямую линию , и решить полученную систему из трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Решение этой системы и будет координатами точки пересечения прямой и плоскости .
Если прямая
задана каноническим уравнением
(40.2),
то для нахождения точки пересечения этой прямой с плоскостью , заданной уравнением (36.4), уравнение (40.2) целесообразно перевести в параметрическое уравнение той же прямой (см. §40).
(40.4)
Далее в линейное уравнение (36.4) вместо x, y ,z подставляем их выражения через параметр t по формуле (40.4). Получим некоторое линейное уравнение относительно t. Решим данное уравнение (относительно t), и найденное t подставим в формулу (40.4)Полученные после подстановки в (40.4) величины x, y, z и будут координатами точки пересечения прямой , заданной уравнением (40.2) или (40.4) и плоскостью (36.4)
В качестве примера рассмотрим задачу
о том, как из точек
на плоскость
,
заданную уравнением 36.4, опустить
перпендикуляр (т.е. как найти проекцию
точки
на плоскость
),
а также докажем формулу (39.1) расстояния
от точки до плоскости.
Подставив
из (44.8) в равенство (44.6) получим координаты
проекции
:
(44.9)
Или
Сделав несложные преобразования получим
(44.10)
Н айдём теперь расстояние от точки до плоскости :
(44.5)
)=
)
(44.11)
Подставив далее вместе
их значения из формулы (44.9), из (44.11)
получим
)=
(44.12)
А подставляя в равенство (44.12) вместо
её значение по формуле (44.8), получим
равенство
)=
Формула (39.1) доказана
Мы показали, что координаты проекции
точки
на плоскость
,
заданной уравнением (36.3), можно найти
по формуле (44.10)
44.5 Доказательство того, что точки находятся по одну или по разные стороны от плоскости
Дано: точки
,
и
плоскость
имеет место.
Теорема 44.
Точки
и
лежат по разные стороны от плоскости
тогда и только тогда, когда
(44.11)
Доказательство
Построим параметрическое уравнение отрезка :
Рис 44.4
Значению t=0 соответствует точка , а t=1 – точка , (см. параграф 40, п.40.3; если параметр t<0 или t>1 , то мы находимся на продолжении отрезка (т.е. на прямой , но за пределами отрезка )).
Очевидно, что (см. рис. 44.4) точки
и
находятся по разные стороны от
плоскости
,
тогда и только тогда, когда отрезок
пересекает эту плоскость
.
Положим
,
где x, y, z
выражены через t формулой
(44.1).
-
линейная ( и поэтому монотонная и
непрерывная) по t функция;
при этом
и
.
Но из условия (44.11) следует, что
(0)
0,
и тогда в интервале (0;1) непрерывная на
нём функция
имеет
корень, т.е. отрезок
пересекает плоскость
,
и достаточность теоремы 44 доказана.
Если же условие (44.11)не выполнено, то
(0)
,
и поэтому (так как
монотонная функция) для любого
будет
,
т.е. для всех
функция
тот
же знак, что и
,
и
(условие 44.11 не выполнено)
Поэтому ни при каком
функция
не обращается в ноль, т.е. отрезок
плоскость
не пересекает.
Теорема 44 полностью доказана.