Материал: 2

получим:

(36.4)

С условием (36.1)

Мы показали, что координаты всех точек любой плоскости удовлетворяют некоторому линейному уравнению (36.4) с условием (36.1)

Покажем обратное, т.е. если координаты всех точек некоторого множества удовлетворяют линейном уравнению (36.4) с условием (36.1) то это множество является плоскостью.

Отметим, что данное множество π≠Ø, ибо если (см.(36.1)) то точка с координатами удовлетворяет уравнению (36.4)

Тогда пусть и - произвольные точки множества , т.е. их координаты удовлетворяют (36.4) и следующему уравнению (для точки )

(36.5)

Вычитая из уравнения (36.4) равенство (36.5), получим формулу (36.3), что означает, что вектора и ( из условия (36.1)), следует,что вектор ) удовлетворяет равенству (36.2), т.е они ортогональны. Поэтому выполняются все условия определения 36.1, т.е. множество , координаты всех точек которого удовлетворяют некоторому линейному уравнению (36.4) с условием (36.1), является плоскостью.

Определение 36.4. Поэтому уравнение (36.4) с условием (36.1) называется общим уравнением плоскости.

36.2 Общее уравнение плоскости и его исследование

Здесь мы будем изучать общее уравнение плоскости (36.4), т.е. рассматривать как особые случаи, когда какие-либо (какой- либо) из коэффициентов A,B,C или D обращается в ноль (с учётом ограничительного условия (36.1), возможно 13 таких случаев), так и общий случай , когда

1.A=0. Тогда уравнение плоскости примет вид:

Эта плоскость имеет вид нормаль , т.е. она ортогональна вектору

. Однако вектор , так же ортогонален вектору

(используя формулу (24.9) (см. §24), непосредственно можно убедиться, что скалярное

произведение т.е. и поэтому данная плоскость коллинеарная вектору т.е оси Оx (она либо параллельна оси Ox либо проходит через нее, запись || Ox)

Остальные случаи рассматриваем аналогично. Составим таблицу особых случаев.

Таблица особых случаев

14. Общий случай

Так же разделив обе части уравнения (36.4) на –D получим:

или

Обозначим далее за из последнего равенства имеем:

(36.6)

К уравнению (36.6) мы еще вернемся в § 38(п.38.5)

§37. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, угол между ними

37.1 Взаимное расположение двух плоскостей

Даны плоскости: : (37.1)

: (37.2)

Рассмотрим матрицы:

; ;

Из условия (36.1) и леммы 2 § 11 (см.11.2), а также вывода в п.13.3 (§13)

следует что:

1 (r(α) – ранг матрицы α)

Возможные случаи взаимного расположения двух плоскостей:

r(α)=r(β)=1 = , ибо в этом случае строки матрицы β пропорциональны, те

и тогда уравнение (37.2) принимает вид

, которое эквивалентно уравнению (37.1) , т.е. плоскости и совпадают

r(α)=1, r(β)=2 ||

Ибо по теореме Кронеккера-Капелли (см.параграф 13), система уравнений (37.1) и (37.2) не совместна, т.е. плоскости и не имеют общих точек.

r(α)=r(β)=2 - прямая линия

(37.3)

37.2 Угол между двумя плоскостями

: ; ={A₁,B₁,C₁} ­– её вектор нормали;

: ; ={A₂,B₂,C₂} – её вектор нормали.

Угол между двумя плоскостями совпадает с углом между их нормалями (см.рис 37.1), т.е = (37.4)

Формула (37.4) вытекает из равенства (24.11) (см. § 24)

37.3 Условие перпендикулярности

Рис37.1

Условие перпендикулярности: (37.5)

§38. Уравнение плоскости

38.1 Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и ортогональной заданному вектору

Пусть дана плоскость :