Материал: 247862

Уравнение (1.2) называется уравнением гиперболического

в каждой точке данной области, то уравнение (1.2) называется уравнением соответствующего типа в области D. Если же

выражение B2 AC меняет знак в области D, то оно называется уравнением смешанного типа.

Простейшим уравнением гиперболического типа является волновое уравнение

которое описывает процессы распространения различных видов волн: упругих, звуковых, электромагнитных.

Функция u u x,t описывает положение точки с коорди-

натой х в момент времени t.

Примером уравнения эллиптического типа является уравнение Лапласа

к исследованию которого приводят задачи о стационарном распределении тепла, электрических и магнитных полях, задачи гидравлики и равновесия.

5

Уравнение теплопроводности

с которым связаны задачи нестационарных процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде, явления диффузии, относится к уравнению параболического

типа. Здесь u u x, t – функция, которая может описывать

распределение температуры в стержне, явления диффузии и другие. Уравнения (1.3)–(1.5) называются основными уравнениями математической физики.

Примеры. Определить тип уравнения.

3cosx 2 2 sin2 x 1 9cos2 x 2sin2 x 2 0,

x, y R2.

Значит, данное уравнение гиперболического типа.

2) e2x 2u 2ex y 2u e2y 2u xu 0.

x2 x y y2

6

Решение.

B2 AC ex y 2 e2xe2y e2 x y e2 x y 0,

x, y R2.

Уравнение параболического типа во всем пространстве.

3)y 2u 2u 0.x2 y2

y 0 – параболического и при y 0 – уравнение эллиптического типа.

Задачи для самостоятельного решения

Определить тип уравнения.

7

1.3. 2u 2 2u 2 2u 0.

x2 x y y2

1.4. 1 x2 x2u2 1 y 2 y2u2 x ux y uy 2u 0.

Общее решение уравнения

Решением уравнения (1.2) называется функция u u x, y ,

имеющая соответствующие частные производные, которая, будучи подставлена в уравнение вместо неизвестной функции и ее частных производных, обращает уравнение в тождество по независимым переменным.

Уравнение (1.2) имеет бесчисленное множество решений. Решение уравнения математической физики, содержащее две произвольные функции, называется общим. Решение, получаемое из общего при определенных значениях произвольных функций, называют частным решением уравнения. Для нахождения частного решения уравнения (1.2) задают

начальные и граничные условия.

Примеры. Найти общее решение уравнения.

1) 2u 0.

x y

Решение.

Запишем заданное уравнение в виде

8

u 0.y x

Отсюда следует, что u не зависит от у, то есть

x

u f x ,

x

где f x – произвольная функция переменной х. Интегрируя последнее уравнение по х, получим

u x, y f x dx ψ y ,

где ψ y – произвольная функция переменной у.

Первое слагаемое в правой части последнего равенства представляет собой произвольную функцию от х, которую

обозначим через x .

Тогда общее решение исследуемого уравнения

u x,y x ψ y .

2)x 2u u 0.x2 x

Решение.

Обозначим u v x, y . Тогда уравнение примет вид

x

9