Материал: 247862

x3 3xt2 14 x2 2xt t2 x2 2xt t2 x3 xt 3xt2.

u x,t x3 xt 3xt2.

Задачи для самостоятельного решения

1.11. Решить задачу Коши для неограниченной струны методом Даламбера:

1.12. Найти колебания бесконечной струны, если начальное положение струны x2, а начальная скорость – cos2x.

1.13. Найти колебания бесконечной струны, если начальное положение равно нулю, а начальная скорость – sin 2x .

15

ЗАНЯТИЕ 2

Распространение тепла в стержне. Метод Фурье разделения переменных

Дан тонкий однородный стержень длины l с начальной

ны. Надо найти температуру стержня в любой момент времени в любой точке х.

Математической моделью этой физической задачи является первая краевая задача для уравнения распространения тепла

встержне длины l.

Вобласти 0 x l,t 0 найти решение уравнения

2u a2 2u ,

t2 x2

удовлетворяющее начальному условию

и однородным граничным условиям:

где x непрерывна и имеет непрерывную первую производную на отрезке 0,l и 0 l 0.

Решение этой задачи ищется методом Фурье разделения переменных. В 1 получена формула для решения:

16

Примеры.

1) Найти функцию u x,t распределения температуры

в стержне длиной l, если на концах стержня поддерживается нулевая температура, а начальное распределение температуры стержня задано формулой

Решение.

Решением первой краевой задачи для уравнения распространения тепла в стержне

u 0,t 0

u l,t 0

17

является функция

2πl2n cos π2n πl22n2 sin π2n .

18

2πl2n cos π2n πl22n2 sin π2n .

An 2l 2πl2n cos π2n πl22n2 sin π2n 2πl2n cos π2n πl22n2 sin π2n

в стержне длиной l, если на конце стержня x 0 поддерживается нулевая температура, а конец стержня x l теплоизолирован; начальная температура стержня равна х.

19