Материал: 247862

x vx v 0.

Это уравнение можем рассматривать как уравнение первого порядка относительно функции v, где у играет роль параметра. Разделяя переменные и интегрируя, получаем

v x , v x

ln v ln x ln f1 y .

f1xy .

Здесь f1 y – произвольная функция переменной у. Возвращаясь к функции u(x, y), имеем

где f2 y – произвольная функция y.

И окончательно, общее решение искомого уравнения u x, y ln x f1 y f2 y .

10

Задачи для самостоятельного решения

Найти общее решение уравнения.

1.6.2u 1 u 0.x y 2 x

1.7.2u 1 u 0.

y2 y y

1.8.2u 1 u 0.

x y 2x y

1.9.2u x u 0.x2 x

1.10.2u 2 u 0.

x y y x

Колебания бесконечной струны. Метод Даламбера

Имеется бесконечная струна. Надо найти колебания этой бесконечной струны в любой момент времени t и в любой

точке х, если начальное положение струны равно x , а начальная скорость ψ x . То есть, надо решить задачу Коши

для уравнения колебаний струны. Найти решение уравнения

2u a2 2u ,

t2 x2

11

удовлетворяющее начальным условиям:

u x,0 x ,

ut x, 0 ψ x ,

где x и x – функции, заданные на всей числовой

прямой.

Если функция x имеет непрерывные производные до второго порядка включительно, а ψ x – дифференцируемая

функция, то решение поставленной задачи Коши может быть найдено по формуле Даламбера

Примеры.

1) Найти колебания бесконечной струны, если начальное положение струны задается функцией x2, а начальная скорость равна нулю (физическая постоянная а = 4).

Решение.

Запишем задачу Коши:

2u 4 2u ,t2 x2

u x, 0 x2.ut x,0 0

12

Решение этой задачи ищем по формуле Даламбера

13

u x,t 13sin x sin3t.

3) Найти колебания бесконечной струны, если начальное положение струны задается функцией x3, а начальная скорость равна x (a 1).

Решение.

Запишем математическую модель этой задачи:

2u 2u ,t2 x2

u x, 0 x3.ut x,0 x

По формуле Даламбера

14