Материал: 2492

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Рис. 14

Докажем теорему. По условию, a = x1 i + y1 j + z1 k и b = x2 i + y2 j + z2 k . Имеем

a × b = x1 x2 (i × i )+ x1 y1 (i × j )+ x1 z2 (i × k )+ y1 x2 ( j × i )+ y1 y2 (j × j )+

+ y1 z2 (

)+ z1 x2 (

)+ z1

y2 (

)+ z1

z2 (

× i

+ x1 z2 (−

)+ y1 x2 (−

)+ y1 z2 i

(− i

= x1 y2

+ z1 x2

+ z1

= (y1

z2 − z1

y2 )i

+ (− x1 z2 + z1

x2 )

+ (x1

− y1

x2 )

;

−

;

= i

− j

+ k

Для демонстрации

видео

нажмите на кнопку

https://www.youtube.com/watch?v=go0HWBnuPqs

y1 = y2

Примеры.

1. Пусть a = (1; −1; 0); b = (2;1; −1) − координаты двух векторов. Тогда их векторное произведение равно

= (1;1; 3).

а ×

−1 0

+ 3

, т. е. a ×

= i

−1

2. Найти векторное произведение векторов

a = 2i + 3 j + 5k и b = i + 2 j + k.

Решение. Имеем

a ×

3 5

2 5

2 3

2 3 5

−

= −7

+ 3

= i

3. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на век-

торах

− 2 j

6k.

a = 6i

+ 3 j − 2k

и b = 3i

Решение. Находим векторное произведение векторов a и

a × b =

6 3

− 2

= i

− 2

− j

6 − 2

+ k

6 3

− 2

3 − 2

− 2 6

− 42 j − 21k.

= 14i

Так как Sпар

a ×

, то

= 49(кв.ед.).

пар

142 + (− 42)2

+ (− 21)2

4. Вычислить

площадь

треугольника с

вершинами

A(1,1,1);

B(2, 3, 4); C(4, 3, 2).

Решение. Находим векторы AB и AC :

AB = (2 −1)i + (3 −1)j + (4 −1)k = i + 2 j + 3k ;

AC = (4 −1)i + (3 −1)j + (2 −1)k = 3i + 2 j + k .

Известно, что S∆

= 1

Sпар

= 1

. Найдём

2 3

1 3

1 2

1 2 3

= i

− j

+ k

= −4i + 8 j − 4k .

Следовательно,

S∆ = 1

(кв.ед.).

16 + 64 +16

5. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на век-

торах a + 3

и 3a +

, если

=1;

(a,

)

= 30 .

Решение. (a + 3

)× (3a +

)= 3a

× a

+ a ×

+ 9

× a + 3

(Используем свойства векторного произведения:

a × a = 0;

= 0; a ×

= −

× a )

= 3

0 + a ×

− 9 a ×

+ 3

0 = −8a ×

Sпар =

− 8a ×

= 8

a ×

= 8

sinϕ = 8 1 1 sin30 = 8 1 = 4(кв.ед.).

6. Дана силаСF{− 5, −1, − 4 } , точки A(

− 2,3,6) и B(1,5, − 3). Оп-

ределить момент силы F относительно точки В.

Решение. Момент силы F , приложенной к точке А относительно точки В, – это вектор, равный векторному произведению вектора пере-

мещения BA = {− 3; − 2; 9} на вектор силы F :

F 0 =					i	j	k	=
					i	j	k
		×		=	− 3 − 2 9
	BA	×	F	=	− 3 − 2 9
					−	5 −1	− 4

Итак, А=19; F0 =17i − 57 j − 7k .

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам

a = i + j + 2 k и b = 2i + j + k .

2. Найти векторное произведение векторов

a= 2i + 5 j + k и b = i + 2 j − 3k .

3.Вычислить площадь треугольникаИс вершинами A(2, 2, 2); B(4, 0, 3) и C(0,1, 0). ДАОпределить

1. ±

− 3

+ 7 j − k .

2. −17i

(ед.2 ).

+ 5

+13

4. −19i

Вопросы и задания для самопроверки [1,2,3,4,6]

1.Дайте определение векторного произведения векторов.

2.Сформулируйте критерий коллинеарности векторов.

3.Как вычисляют через координаты векторов их векторное произведение?

4.Поясните геометрический смысл векторного произведения.

5.Чему равно векторное произведение i × j ?

§6. Смешанное произведение векторов

Тройка некомпланарных векторов a, b, c называется правой,

если векторы a × b и c расположены по одну и ту же сторону плоскости, проведённой через a и b (рис. 15).

a ×

Правая

Левая

тройка

Рис. 15

Замечание. Если a

, c − правая тройка, то

, с, a и c, a,

−

тоже правые, а тройки

, a, c ; a, c,

; c, b, a − левые.

Смешанным произведением векторов

, c

называется чис-

ло, равное (a × b) c (см. пр л. 4).

Теорема (геометр ческ й смысл смешанного произведения).

Смешанное про зведен е (a × b)c равно объёму параллелепи-

педа, построенного наивекторах a,

, c , взятого со знаком плюс, если

тройка a,

, c − правая,

и со знаком минус, если

, c − левая.

((a × b)c = ±V С).

Основное использование

1. Объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c :

Vпар = a b c .

2. Объём пирамиды, построенной на векторах a, b, c :

Источник: https://studfile.net/preview/16408549/

Смотрите также:

DLP-системы
Государственная поддержка сельскохозяйственного производства на региональном уровне с учетом требований ВТО
Дело 01-0062_2019. Приговор. документ - обезличенная копия
МПС3
Направления развития инновационно-инертных регионов
Расстановка скобок в арифметическом выражении
Системы коммутации
Теоретические аспекты контроллинга
Шум и средства защиты от него