Материал: 3106

Тестовые задания

1) Всвязи с чем возникло ситуационное моделирование и ситуационное управление?

2) Какие три основные предпосылки лежат в основе ситуационного моделирования?

3.) Сущность метода ситуационного моделирования и управления.

4) Трактовка задачи принятия решений.

5) Содержание машинной процедуры формирования понятий CLS-9 и применение ее для построения ситуационной модели управления.

6) Формирование дерева для управляющего воздействия. Выбор признаков и их значений.

7) Алгоритм построения дерева классификации управляющего воздействия.

Литература

1) Теория систем и системный анализ в управлении организациями: Справочник: Учеб. пособие/Под ред. В.Н. Волковой и А.А. Емельянова. - М.: Финансы и статистика, 2006. - 848 с:. ISBN 5-279-02933-5.

2) Макаров Р.И., Хорошева Е.Р., Лукашин С.А. Автоматизация производства листового стекла (флоат-способ)/Под ред. Р.И. Макарова; Владим. гос. ун-т. Вдалимир, 2000. -248с. ISBN 5-89368-206-8.

3) Хант Э., Марин Дж., Стоун Ф. Моделирование процесса формирования понятий на вычислительной машине ( пер. с англ. ). - М.: Мир, 1970. - 301 с.

4) Р.И. Макаров. Анализ и синтез информационных систем. Методические указания к практическим занятиям (вторая часть). Учебное электронное издание. Владимир 2013. -45с.

Лекция 18. Информационное моделирование

В современной статистической теории информации формула количества информации выражает то разнообразие, которое один объект содержит о другом. Исходным является понятие условной энтропии объекта Х при заданном Y – H(X/Y), которое интерпретируется как количество информации, необходимое для задания объекта X в ситуации, когда объект Y уже задан.

В настоящее время в теории информации соединились три дисциплины [1]:

- статистическая термодинамика как математическая теория;

- шеноновская теория информации;

- теория оптимальных статистических решений.

В настоящее время происходит становление не только понятия информации, но и связанного с ним общенаучного метода исследования – теоретико–информационного [2]. Работы У. Эшби о возможности разнообразного построения кибернетики являются отправной точкой теории управления и моделирования [3]. Он показал, что процесс связи можно интерпретировать как передачу информации, а управление – как ограничение разнообразия.

Информационная теория моделирования, как и составная часть теории управления, определяет условия подобия целей, информационных структур, информационных потоков, а также подобия информационных функций преобразователей информации в узлах управления [4]. Эффективность функционирования систем связывается с количеством информации, вносимой в контур управления, а также с затратами на информационную часть системы. Теория информации позволяет исследовать объекты сложной природы на относительно простых и наглядных математических моделях. В работе [5] показана возможность оценки взаимосвязей технологических параметров при помощи понятия энтропии, а в работе Башарина Г.П. было доказано, что энтропия имеет нормальное распределение. Обобщение этих результатов работ дало возможность получить не только точечные, но и интервальные оценки как самой энтропии, так и параметров, определяемых на ее основе.

Согласно К. Шенону энтропией называется величина, рассчитываемая по формуле:

где p_i – вероятность i-го состояния дискретной случайной величины Х;

k – число состояний величины Х.

В формуле вероятности заменяют их оценками p_i=f_i / n, где f_i – частоты наблюдения случайной величины Х в i - м состоянии; n – объем выборки.

Оценка является состоятельной, смещенной, асимптотически нормальной оценкой энтропии H(X) при фиксированных p_i и n→∞.

Математическое ожидание и дисперсия H(X) равны:

где 0(1/n²) – величина порядка n^-a (a>0).

1. Моделирование технологических операций

Информационный анализ между параметрами позволяет провести количественную оценку взаимосвязей результатов выполненной операции (качество изделия) от влияющих факторов, например, режима обработки, материала, состояние оборудования и др., выявить параметр, обладающий наибольшей информативностью.

Допустим, что в результате обработки заготовки на отдельной операции сформировались три параметра X, Y, Z. Рассмотрим возможные случаи взаимосвязи между этим параметрам (рис. 1) [2].

а б

Рисунок 1 - Диаграммы информационной связи между параметрами

На первом рисунке 1а отражена полная информационная независимость между параметрами. Второй рисунок 1б характеризует информационную связь между всеми параметрами. Сумма секторов 1, 2. 4, 5 характеризует энтропию параметра Х:

S(1,2,5,4)=H(X);

S(2,5,6,3)=H(Y);

S(4,5,6,7)=H(Z).

S(2,5)=I(X→Y)=I(Y→X) – количество взаимной информации между параметрами X и Y.

Аналогично можно показать S(4,5), S(5,6).

S(1,2,3,6,5,4)= H(X,Y) – совместное количество информации о системе Х и Y.

S(2,5,6)=H(XZ→Y) – количество информации о параметрах X и Z , заключенное в параметре Y.

Используя принятые обозначения можно вывести следующие зависимости количества взаимной информации:

I(X→Y)=S(1,2,5,4)+S(2,5,6,3)-S(1,2,3,6,5,4)=H(X)+H(Y)-H(X,Y);

I(X→Z)=H(X) + H(Z) - H(X,Z);

I(Y→Z)=H(Y) + H(Z) - H(Y,Z);

I(XY→Z)=H(X,Y) +H(Z) - H(X,Y,Z); (1)

I(XZ→Y)=H(X,Z) + H(Y) - H(X,Y,Z);

I(YZ→X)=H(Y,Z) + H(X) - H(X,Y,Z).

Информационный анализ трехпараметрического случая заключается в последовательном определении количества информации с помощью выше записанной системы уравнений.

Для количественной оценки зависимостей между параметрами рассчитываются коэффициенты информационной связи:

R_I(X→Y)=I(X→Y)/H(Y);

R_I(X→Z)=I(X→Z)/H(Z);

R_I(Y→Z)=I(Y→Z)/H(Z);

R_I(XY→Z)=I(XY→Z)/H(Z); (2)

R_I(XZ→Y)=I(XZ→Y)/H(Y);

R_I(YZ→X)=I(YZ→X)/H(X).

Обобщая результаты на n параметров, зависимость между ними вычисляется по формуле:

I(X₁,X₂,X₃,…X_n-1→X_n) = H(X₁,X₂,X₃,…X_n-1) + H(X_n) – H(X₁,X_2,X₃,…X_n).

Таким образом, математическое моделирование технологических операций заключается в составлении и решении системы уравнений (1), (2).

2. Анализ моделей. Значимость оценок и доверительные интервалы

Информация и коэффициенты информации вычисляются с использованием эмпирических данных, являются случайными величинами. Оценка информации I(X→Y) с точностью до постоянного множителя имеет χ2 распределения [2]:

m=(k1-1)(k2 -1) – число степеней свободы ; k1, k2 – количество интервалов разбиения входного и выходного параметров; n- число опытов.

Формула позволяет определить значимость информационного взаимодействия двух параметров. Информация, передаваемая от одного параметра к другому, считается значимой при выполнении соотношения:

- квантиль распределения с уровнем значимости .

Значимость коэффициента информационной связи R_I определяется значимостью информации [2]. При m>25 распределение Пирсона можно заменить распределением Гаусса с дисперсией σ_I²=2m, что позволяет определить доверительные интервалы для информации [2]:

.

где t_α – α –квантиль нормального распределения.

Доверительный интервал для коэффициента информационной связи определяется по формуле [2]:

.

Минимальный объем выборки, необходимый для построения информационной модели с заданной точностью ∆I, определяется по формуле [2]:

.

Идентичность информационной модели реальному объекту оценивается по величине коэффициента информационной связи R_I , который может использоваться в качестве меры определенности процесса [2], аналогично коэффициенту детерминации регрессионной модели.

Исследование парных причинно-следственных взаимодействий часто встречается при анализе систем, в частности, технологических операций. Рассмотрим на примере методику построения информационной модели технологической операции [2].

Для анализа использовалась выборка, состоящая из 100 измерений, отражающая зависимости показателя Y от причины Х. Для построения таблицы частот проводится дискретизация данных. Количество интервалов разбиения рассчитывается по формуле [2]:

k=3,748 + 0,012n.

Выбираемая длина интервалов должна в 2 раза и больше превышать абсолютную погрешность измерений для исключения влияния погрешностей измерения на результаты анализа. Для рассматриваемого примера таблица частот приведена ниже (табл. 1).

Таблица 1– Подсчет частот

Рассчитаем оценки энтропий:

I(X→Y)= H(X) + H(Y) - H(X,Y);

Аналогично рассчитаем оценку энтропии Y:

Оценка совместной энтропии H(XY) рассчитывается по формуле:

Параметры искомой информационной модели будут: