Материал: 4952

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Министерство образования Российской Федерации Хабаровская государственная академия экономики и права Кафедра математики и математических методов в экономике

Высшая математика Приложения производной к исследованию функций

Методические указания и индивидуальные задания для студентов 1-го курса дневного отделения

всех специальностей

Хабаровск 2003

ББК В11

Х12

Высшая математика. Приложения производной к исследованию функций: Методические указания и индивидуальные задания для студентов 1-го курса дневного отделения всех специальностей / Сост. И.В. Ясеновская – Хабаровск: РИЦ ХГАЭП, 2003. – с. 32

Рецензент к.ф.-м.н., доцент кафедры прикладной математики ДВГУПС Е.Н. Ломакина

Методическая разработка предназначена для выполнения индивидуальных заданий по высшей математике для студентов первого курса всех специальностей дневного отделения.

Задания предусматриваются по следующими темам: «Исследование функций и построение графиков», «Исследование функций на наименьшее и наибольшее значения», «Приближенные вычисления с помощью дифференциала» и «Экономический смысл производной».

Структура методических указаний следующая: дана подробная схема исследования функции, рассмотрено решение типовых задач, составлены варианты заданий для самостоятельного решения. При подборе упражнений использовалась различная учебная литература. Основные понятия изучаемого раздела иллюстрируются задачами экономического содержания.

Утверждено издательско-библиотечным советом академии в качестве методических указаний.

1. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

Дифференциальное исчисление позволяет установить характерные особенности изменения функций: возрастание и убывание, максимумы и минимумы, направление выпуклости и вогнутости графика, наличие асимптот. Характерные точки – точки разрыва, экстремума, перегиба, пересечения графиков с осями координат служат опорными точками при исследовании функций и построении их графиков.

При исследовании функций и построении их графиков рекомендуется использовать следующую схему:

1.Найти область определения функции.

2.Исследовать функцию на четность–нечетность.

3.Найти вертикальные асимптоты.

4.Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты.

5.Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6.Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

7.Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые

дополнительные точки, уточняющие график.

Заметим, что исследование функции проводится одновременно с построением ее графика.

Пример 1. Исследовать функцию и построить ее график

		у	1	х	3	х	2	5 .
		у	6	х		х		5 .
			6
	Решение
1.	Очевидно, что функция определена на интервале х										(-			; +			).
2.	Функция нечетная, так как	f x	1			х	3	х	2	5		1	х	3	х	2	5	f x .
2.	Функция нечетная, так как	f x	6			х		х		5	6		х		х		5	f x .
			6								6

Следовательно, ее график симметричен относительно начала координат.

3.Так как функция непрерывна на всей области определения, то точек разрыва она не имеет, а следовательно, не имеет и вертикальных асимптот.

4. Наклонная асимптота имеет вид y kx b , если существуют конечные

пределы
k = lim	f x	,	b = lim f (x) kx .
k = lim	x	,	b = lim f (x) kx .
x	x		x

Найдем эти пределы для данной функции:

k = lim	х3	х 2 5	lim	1	х	2	х	2	5	.
		6х		6
x			x

Таким образом, функция не имеет ни наклонных, ни горизонтальных асимптот.

5. Очевидно, что у											1	5х	4		15х			2						5		х			2		х	2						3 .
5. Очевидно, что у									6			5х			15х									6		х					х							3 .
									6															6
Приравняем производную к нулю.
																	5			х		2			х			2					3						0,
																	6			х					х								3						0,
																	6

имеем три критические точки: х1=0,																											х2=						3,						х3= - 3 .
		Всю область определения разобьем на следующие три промежутка:

															;			3 ,															3;						3 ,				3;
							+								-																									-
															-																									-								+
																																																+
																																																	х
									3																					0																	3
									max																																						min
									max																																						min
		На каждом из этих промежутков																													устанавливаем																знак производной.

Очевидно,							что	y	0 на промежутке																								3;							3 ,			и y				0 на промежутках

	;		3				и		3; .							Следовательно,																									на						3; 3	функция
y	1	x	3	x	2		5	убывает, на																						и												- возрастает.
	1		3		2													;						3									3;
	6																	;						3									3;
	6
		Таким образом,										определены														промежутки монотонности. В точке

х3			3			функция			имеет						максимум.																В точке												х2				3 функция имеет

минимум,							ymin			f		3						3 ;													ymax									f				3			3 .	Обозначим
полученные точки:									А										- max; B																								- min.
полученные точки:									А				3;		3				- max; B														3; 3										- min.
6. Найдем
												y			5	4x3									6x										5		x 2x 2						3 .
												y			6	4x3									6x								3				x 2x 2						3 .
															6																		3
Приравняем вторую производную к нулю.
																					5		x 2x 2										3							0 .
																							x 2x 2										3							0 .
																				3
Корни этого уравнения следующие:

														x			0;						x											3		;			x						3	.
														x			0;						x		2											;			x	3						.
															1										2								2							3			2
																																	2										2

Всю область определения функции разобьем на промежутки:


;	3	,	3	;0 ,	0;	3	,	3	;	.
;	2	,	2	;0 ,	0;	2	,	2	;	.
	2		2			2		2

-	+	-
		-
		+
		+
		х

Следовательно,

на

промежутках

функция

;

1,5

выпукла (выпукла вверх), а на промежутках

1,5;0 и

1,5;

- вогнута

(выпукла вниз).

Так

как

вторая

производная при

переходе

через точки

меняет

знак,

то

все

эти

точки

являются

x1 0; x2

1,5;

1,5

абсциссами точек перегиба. Находим их ординаты:

;

0; y

1,5

1,5 .

Таким образом, точками перегиба являются следующие точки:

	7			7
O 0;0 ; C 1,5;	7	1,5 ; Д	1,5;	7	1,5 .
O 0;0 ; C 1,5;	8	1,5 ; Д	1,5;	8	1,5 .
	8			8

7. Найдем точку пересечения графика функции с осью Оу. Тогда при

х = 0 получаем из уравнения у					1		х	3	х	2	5	, что и у = 0. Итак, ось Оу
х = 0 получаем из уравнения у				6			х		х		5	, что и у = 0. Итак, ось Оу
				6
график функции пересекает в точке О(0;0).
Для нахождения точек пересечения графика с осью Ох решим
уравнение f x 0.
			1	х		3	х		2	5		0 .
	6			х			х			5		0 .
	6

Отсюда получаем х = 0; x		5 . Тогда график функции пересекает ось Ох

в трех точках О(0;0); Е 5;0	; F			5;0 .

График функции изображен на рис. 1.

Источник: https://studfile.net/preview/16710612/

Смотрите также:






Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_-___-~1
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr