Документ: 4952, страницы 26-30 | База учебных материалов

26

77.Одна сторона прямоугольного участка земли примыкает к берегу

канала, а три другие огораживаются забором. Каковы должны быть размеры этого участка, чтобы его площадь составила 800 м2, а длина забора была наименьшая?

78.Объем продаж и цена некоторого товара связаны соотношением

p 600 x 20 2 , где р – цена единицы товара, х – количество проданных единиц товара. Определить, при каком объеме продаж выручка от продажи товара будет наибольшей?

79. Фирма размещает на этаже здания магазин. Общая длина стен изображенного на плане этажа равна 90 м. При какой ширине х коридора

площадь	трех	остальных	помещений	будет
наибольшей?

	x


		5x	3x


80. Предположим, что издержки производства некоторого товара
объема х характеризуются функцией K(x)			10x2 15x 50 . Определить, при

каком объеме х производства товара прибыль Q (Q xp K(x)) будет максимальной, если цена товара изменяется по закону p 80 16x .

81.Завод производит ежемесячно 5000 единиц продукции, доставляемой двум потребителям. Цена реализации единицы продукции составляет 5000 рублей для потребителя. Расходы по доставке единицы продукции с завода соответственно к первому и второму потребителям

составляют (0,4+0,001 х1) руб. и (0,5+0,002 х2) руб., где х1 и х2 – количество единиц продукции, перевозимых первому и второму потребителям соответственно. Определить оптимальное распределение продукции между потребителями, при котором завод получит максимальную прибыль.

82.Издержки производства х единиц однородной продукции

выражаются формулой K(x) x3 3x2 10x . Найти объем производства, при

котором средние издержки K (x) будут минимальными.

x

83. На производстве используются два вида ресурсов в количествах х1 и х2 единиц. Причем так, что суммарный объем ресурсов первого и

27

второго вида составляет 20 единиц. Определить оптимальный расход ресурсов, обеспечивающий предприятию достижение максимальной прибыли, если известно, что суммарная прибыль Z предприятия

следующим образом зависит от расхода ресурсов: Z			2x	10x		x2 .
			1		2	2
84. Объем продаж некоторого товара		x	500	2p ,	а	издержки
описываются зависимостью K(x) 3x2 4 .	Найти		цену	р	и	количество
единиц товара х, при которых прибыль Q (Q	xp	K(x)) будет максимальна.

85.Для производства некоторого продукта в количестве 1000 единиц

вдень могут быть использованы два станка различной производительности. Суммарные затраты на выпуск продукции за день

составляют для			первого			станка	500 4x	0,01x2	и для второго -
							1	1
1200 8x	0,02x2	,	где х	1	и х – дневные производительности первого и
2	2			1		2

второго станков соответственно. Определить производственную программу работы обоих станков, обеспечивающих дневную потребность

впродукте при минимальных суммарных затратах.

86.В трудовом коллективе заработная плата каждого рабочего Q (рублей) и число х занятых в производстве рабочих связаны соотношением

Q L x2 ax , где L и a – постоянные, характеризующие производственные

возможности коллектива. Определить, при каком числе занятых заработная плата принимает наибольшее значение, если L = 1500; а = 16000.

87. На производство некоторого продукта расходуется два вида ресурсов. Цена единицы ресурса первого вида 3 ден. ед., второго – 4 ден. ед., а всего выделено на производство 1200 ден. ед. Известно, что из

количества х1		единиц первого ресурса и х2			единиц второго ресурса можно
получить 2x 0,5x			0,5 единиц продукции. При каких значениях х			и х	2	объем
	1	2			1
продукции будет наибольшим?
	88. Производитель реализует свою продукцию по цене р за единицу,
а	издержки		при	этом задаются	кубической зависимостью
K(x)	ax bx3 (a		p, x	0) . Найти оптимальный для производителя объем х
выпуска продукции и соответствующую ему прибыль.
	89. Предприятие располагает средствами в размере 3 млн руб. для

закупки оборудования двух видов, причем цена одной единицы оборудования первого вида – 10 тыс. руб., второго – 2 тыс. руб. Производительность одной единицы оборудования за весь период эксплуатации (в рублях): первого вида -1 миллион рублей, второго вида – 2000+100х2, где х2 – количество единиц оборудования второго вида. Сколько оборудования каждого вида следует закупить на имеющуюся сумму денег для получения наибольшего объема производства?

	28
90.	Функция полных издержек предприятия имеет вид
y x3 6x2	15x , где х – объем производства. При каком месячном объеме

производства средние издержки (y/x) минимальны?

91 - 100. Спрос на товар (Q) относительно цены (р) определяется функцией Q(р). Рассчитать эластичность функции спроса относительно цены и найти значение показателя эластичности для заданных значений р. Дать экономическую интерпретацию полученным результатам.

91.

Q(p) = е-5р

при

р = 2 у.е.

92.

Q(p) =

500

при

р = 12 у.е.

p

4

93.

Q(p) = 154

2 p3

при

р = 7 у.е.

p 1

94.

Q(p) =

p

8

при

р = 2 у.е.

p

2

95.

Q(p) = p3

7 p

3

при

р = 4 у.е.

96.

Q(p) =

2

при

р = 3 у.е.

p

3

97.

Q(p) =

p3

при

р = 10 у.е.

2 p2

7

98.

Q(p) = 14 p2

7 p

8

при

р = 25 у.е.

p

99.

Q(p) =

p

при

р = 17 у.е.

p2

7 p

3

100.Q(p) =

p3

7

при

р = 21 у.е.

p

101-110. Предложение товара (S) относительно цены (р) определяется функцией S(p). Рассчитать эластичность функции предложения и найти значения показателя эластичности для заданных значений р. Дать экономическую интерпретацию полученным результатам.

101. S(p) =	3(4	p 2 )	при	р = 4
	1	8 p

							29
	6
102.	S(p) =					при	р = 8
102.	S(p) =	9			p	при	р = 8
103.	S(p) = 2р – 1					при	р = 4
	7
104.	S(p) =					при	р = 3
104.	S(p) =		7		p	при	р = 3
105.	S(p) = р + 0,5					при	р = 2
106.	S(p) = 1 +				2 p	при	р = 3
106.	S(p) = 1 +			3		при	р = 3
				3
107.	S(p) = 2р2 + 5р + 1					при	р = 1
108.	S(p) =		p 2			при	р = 1
108.	S(p) =		2		p	при	р = 1
109.	S(p) = 8 + 0,5р					при	р = 2
110.	S(p) = 3 -			1		при	р = 1
110.	S(p) = 3 -			p		при	р = 1
				p

111-120. Пусть функция полных затрат имеет вид К(х), где х – объем производимой продукции. Рассчитать эластичность функции полных затрат и найти значение показателя эластичности для заданных значений х. Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.

111.	К(х) = 6 ln (1+3х)			при	х = 30
112.	К(х) = х3 + 2х2 + х			при	х = 20
113.	К(х) = х3 - 6х2 + 15х			при	х = 4
114.	К(х) = ln (1+4х)2			при	х = 25
115.	К(х) = х3 - 6х2 + 20х			при	х = 3
116.	К(х) = х2		+ 3х + 5	при	х = 5

117.	К(х) = 1 + 4 x			при	х = 1
118.	К(х) = х2		- 2х + 3	при	х = 2
119.	К(х) =	x 2		при	х = 5
		x	3
120.	К(х) = х3		+ 2х	при	х = 2

30

ПРИЛОЖЕНИЯ

1. Основные правила дифференцирования

Если С – постоянное число,

U

U(x),V

V (x)

- функции, имеющие

производные, тогда:

C

0

U V

U

V

C U

U V

UV

U

U V

UV

V

2

2. Таблица производных

Функция

Производная

xn

n

xn 1

a x

ax lna (a 0, a 1)

ex

loga x

1

(a

0,

a

1)

x ln a

ln x

1

x

sin x

cos x

sin x

tgx

1

x

k

cos2 x

2

ctgx

1

(x

k

)

sin2 x

arcsinx

1

(

1

x

1)

1

x2

arccos x

1

1 x2

arctgx

1

x2

arcctgx

1

x2

Материал: 4952

Смотрите также: