Документ: 4952, страницы 6-10 | База учебных материалов

6

у

A

3

F	D	O	E

			х

5	3					3		5
	3	C
		C
	3
						B
Рис.1. График функции		у	1	х	3	х	2	5 .
Рис.1. График функции		у	6	х		х		5 .
			6

Пример 2. Исследовать функцию и построить её график

y	x 2	4x	4	.
	x 2	3x	2

Решение

1.Найдем область определения функции. Для этого необходимо решить квадратное уравнение

	x2	3x	2	0;
	x1	1,	x2	2.
Следовательно, область определения функции x							;1 1;2		2;	.
2. Исследуем функцию на четность и нечетность
f x	x 2	4	x	4	x 2	4x	4	.
f x	x 2	3	x	2	x 2	3x	2	.
	x 2	3	x	2	x 2	3x	2

Очевидно, что данная функция не является ни четной ни нечетной.

3. Проведем классификацию точек x1 1, x2 2 разрыва функции. Для

этого вычислим правосторонние и левосторонние пределы в точках разрыва.

7

lim

f

x

lim

x 2

4x 4

lim

1 0 2

4 1 0 4

lim

1

x 1 x 2

1 0 1 1 0 2

0

x 1 0

lim

f

x

lim

x 2

4x 4

lim

1 0 2

4 1 0 4

lim

1

x 1 x 2

1 0 1 1 0 2

0

x 1 0

Аналогично получаем	lim	f x	;	lim	f x	.
	x 2 0		x	2 0
Следовательно,	точки	x1	1 и x2	2	являются точками разрыва

второго рода, а прямые х = 1 и х = 2 – вертикальными асимптотами графика функции.

4. Найдем наклонную асимптоту графика функции

k lim	f	x	lim	x 2	4x	4	0	;
k lim		x	lim	x x 2			0	;
x		x	x	x x 2	3x	2

b lim f x kx	lim f x 1.
x	x

Следовательно, горизонтальная асимптота у = 1 явилась частным случаем наклонной асимптоты.

5. Найдем производную данной функции

y	2x 4 x 2	3x 2	2x 3 x 2 4x 4	7x 2	12x 4
						.
		x 2	3x 2 2	x 2	3x 2 2	.

Таким образом, первая производная не существует в точках разрыва

функции x1	1,	x2		2 . Решая			уравнение y 0,			7x2 12x 4 0,
получим x	6		36	28	,	x	0,5, x		1,2 .
получим x					,	x	0,5, x	2	1,2 .
		14				1		2
		14

Наносим критические точки на числовую прямую.

-			-	-
	+		+			х
0,5		1	1,2	2		х
0,5		1	1,2	2
	min		max
Очевидно, что y		0 на промежутках		; 0,5 ; 1,2; 2	и 2;	, на
этих промежутках функция убывает. На промежутках, где y					0 - (0,5;1),

(1;1,2) функция возрастает.

Соответственно точками экстремума являются точки с абсциссами

х1 = 0,5 – минимум и х2 = 1,2 – максимум. Таким образом, уmin= f(0,5) = -

2,5 и уmax=f(1,2) = -10.

8

Обозначим полученные точки А(0,5; -2,5) – min и В(1,2; -10) – max.

6. Исследуем функцию на наличие точек перегиба.

y		14x 12 x 2	3x 2 2 2x 3 7x 2					12x 4 2x 7x 2			18x 12
y			x	2	3x 2	3				x 1 3	x 2 3
				2		3				x 1 3	x 2 3

Вторая производная существует на							;1 , (1;2), 2;		.
	Найдем точки, подозрительные на перегиб, для этого решим
уравнение
					2x 7x 2	18 x	12	0 .
Получим х=0; так как D<0, то 7x2						18x	12	0 .

Нанесем точки на ось

-	+		-	+
				х
	0	1		2
		разрыв		разрыв
Таким образом,	на промежутках	; 0	и (1; 2)	– функция выпукла

(выпукла вверх), а на промежутках (0; 1) и 2; - вогнута (выпукла вниз).

Для точки с абсциссой х = 0 найдем её ординату y f (0) 2 .

Таким образом, график функции имеет единственную точку перегиба С(0;-2).

7. Найдем точку пересечения графика функции с осью Оу. При х = 0, у = -2. Точка С(0;-2) – точка пересечения с Оу.

Для нахождения точек пересечения графика с осью Ох решим уравнение

		x2 4x 4	0 .
Получаем x 2	8 . Следовательно, x1		0,8, x2	4,8 .

Назовем точки пересечения графика с осью Ох Д(0,8; 0) и Е(-4,8; 0). График функции изображен на рис. 2.

			9
	у
	1
	O	D
E	0	1	2	х
				х

C

A

B

Рис. 2. График функции	y	x 2	4x	4	.
		x 2	3x	2

Пример 3. Исследовать функцию и построить её график

y x	ln x	.

	x
Решение

1. Данная функция определена в области определения функции y ln x . По определению логарифма получаем x 0;.

2.Функция не является ни четной ни нечетной.

3.Так как x 0 , то у функции имеется точка разрыва х = 0.

Определим вид точки разрыва. Поскольку область определения функции х>0, рассмотрим правосторонний предел

lim	f x	lim	x	ln x	.

				x
x 0	0	x 0	0

Следовательно, точка х = 0 – точка разрыва второго рода. Соответственно график функции имеет вертикальную асимптоту с уравнением х = 0.

4. Проверим функцию на наличие наклонных асимптот с уравнением y kx b , где

k lim

f (x)

lim 1

ln x

1

lim

ln x

1

lim

1

1;

x

x 2

2x 2

x

b

lim f

x kx

lim

x

ln x

x

lim

1

0 .

x 2

2x 2

x

Получаем уравнение наклонной асимптоты у = х.

	10
5. Исследуем функцию на монотонность.
y 1		1		ln x	.
y 1					.
			x 2
Приравняем производную к нулю.
1	1	ln x		0 .

		x 2
		x 2
	x2	1	ln x.
Учитывая, что производная		на		промежутке		0;	всегда

положительна, сделаем вывод, что функция на этом промежутке монотонно возрастает.

6. Найдем вторую производную функции
y	x 2x 1 ln x				2 ln x 3	.
y	x 4					.
	x 4				x3
Решаем уравнение y 0 , т.е.	2 ln x	3	0	,
	ln x	3 / 2		,
	x	e1,5 .

Исследуем полученную точку на перегиб

	-		+
			+
0		е1,5	х
0		е1,5

Действительно, на промежутке (0; е1,5) функция выпукла, а на промежутке (е1,5;+∞) – вогнута. Следовательно, точка с данной абсциссой является точкой перегиба функции.

Найдем её ординату	y	f e1,5	e1,5	ln e1,5	5.
Найдем её ординату	y	f e1,5	e1,5	e1,5	5.
				e1,5
Таким образом, получим точку А(е1,5; 5).
7. В силу того, что	x	0 , график функции			y x	ln x	не имеет точек
7. В силу того, что	x	0 , график функции			y x	x	не имеет точек
						x

пересечения с осью Оу.

Определим точки пересечения необходимо решить уравнение f x

x

функции с осью Ох. Для этого

0.

ln x	0	,

x
x

x 2 ln x .

Материал: 4952

Смотрите также: