Документ: 4952, страницы 11-15 | База учебных материалов

11

Решим это уравнение графически. Построим в прямоугольной системе

координат графики функций y	x 2 и y	2	ln x .
1		2

у

			y2 = lnx
0	1		х
		K	х
		K

					y1 = -x2
Получили точку К,	абсцисса этой точки x				0,6 , поэтому искомая точка
пересечения графика	функции	y x		ln x	с осью Ох будет иметь

				x
				x
координаты (0,6; 0), обозначим эту точку В(0,6; 0).
График функции изображен на рис. 3.
			у		A

O

х

B

y = x

Рис. 3. График функции y x	ln x	.

	x

12

2. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛА

Приведем основные формулы, которые используются в

приближенных вычислениях с помощью дифференциала.

Если

функция

y

f x

дифференцируема

в

точке

х0,

то

её

приращение

y

f x0

x

x , где

f

x0

- производная функции в

точке х0, ∆х – приращение аргумента,

x

- бесконечно малая величина

более высокого порядка чем ∆х

lim

x

0 .

x

x 0

Отсюда следует

приближенное

равенство

y

dy f

x0

x

или

f x0

x

f x0

x .

Следовательно, справедливо приближенное равенство

f x0

x

f x0

f

x0

x .

(2.1)

Данное равенство тем точнее, чем меньше ∆х.

Пример 1. Вычислить приближенно Cos 91°.

Решение

Рассмотрим функцию f

x

cos x , найдем f

x

sin x .

Согласно равенству (2.1), Cos x0

x cos x0

sin x0

x .

Учитывая, что Cos 91

cos 90

1

cos

,

возьмем

2

180

x0

и x

.

2

180

Тогда имеем конечный результат:

Cos 91

cos

sin

0 (

1)

0,017 .

2

180

2

180

Пример 2. Вычислить приближенно ln

e

0,1 .

Решение

Рассмотрим функцию f (x)

ln x , найдем f

(x)

1

.

x

Согласно

равенству

(2.1),

ln x0

x

ln x0

1

x .

x0

За х0 возьмем е, за ∆х – (-0,1), тогда

ln e

0,1

ln e

1

0,1

1

0,1

0,963 .

e

Пример 3. В результате наблюдений было установлено, что размер

вклада

клиента

Сидорова

в

банке

изменяется

по

закону

13

15x3

2x2

3x

11,

где

х

– время в месяцах.

Найти

приблизительно

размер вклада через 3,008 месяца.

Решение

Воспользуемся приближенной формулой

T

f (x0 )

f (x0 ) x ,

где

Т –

вклад;

х0

=

3;

∆х

=

0,008;

T

f (3) f

(3) 0,008 ;

f (x) 45x 2

4x 3 .

Тогда размер вклада примерно равен:

T

15

33

2

32

3

11

(45

32

4

3

3)

0,008

410,168.

3. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ

При решении прикладных задач, в частности оптимизационных, важное значение имеют задачи на нахождение наибольшего и наименьшего

значений функции на промежутке Х.
	Для отыскания наибольшего и наименьшего значений на		отрезке
рекомендуется пользоваться следующей схемой:
1.	Найти производную f (x) .
2.	Найти критические точки функции, в которых	f (x) 0	или не

существует.

3.Найти значения функции в критических точках, входящих в отрезок, а

также на концах заданного отрезка и выбрать из них наибольшее fнаиб = М и наименьшее fнаим = m.

	Пример 1. Найти			наибольшее и наименьшее значения функции
y		2x	на отрезке [0;2].

	1 x 2
	1 x 2
	Решение
	f (x)		2 1 x 2 2x 2x 2 2x 2
1.						.
1.			1 x 2 2		1 x 2 2	.
2.	f (x)		0, откуда критические точки х1 = 1; х2 = -1.
3.	Критическая точка х2			= -1 не принадлежит [0;2]. Значения функции в

критических точках и на концах отрезка	f 0	0 , f 1 1 и f 2	4	.
критических точках и на концах отрезка	f 0	0 , f 1 1 и f 2	5	.
			5
Итак, M f наим f (1) 1, m f наим	f (0)	0 .

14

Для решения текстовой задачи на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции следует исходя из её условия: выбрать независимую переменную, установить границы ее изменения (промежуток изменения) и выразить исследуемую величину через эту переменную как функцию. Затем проводится исследование этой функции на экстремум и по известному правилу находится наибольшее (наименьшее) значение. Результат анализируется на основании данных задачи.

Пример 2. Капитал в 1 млрд руб. может быть размещен в банке под 50% годовых или инвестирован в производство, причем эффективность вложения в производство ожидается в размере 100%, а издержки задаются квадратичной зависимостью. Прибыль облагается налогом в р%. При каких значениях р вложение в производство является более эффективным, нежели чистое размещение капитала под проценты в банке?

Решение. Пусть х (млрд руб.) инвестируется в производство, тогда (1 х) - размещаются под проценты в банк. Размещенный капитал через год

станет равным 1,5(1

x)

3

x , а капитал,

вложенный в производство, -

2

x 1

100

2x . Издержки составят ax2 , где

a 0 .

100

Тогда прирост денежной массы от вложения в производство C 2x ax2 .

Так как налог на прирост равен

2x

ax2

p

, то прибыль от вложения в

100

производство Q(x)

1

p

2x ax2 .

100

Общая сумма прибыли через год определяется функцией

Q(x)

3 3 x 1

p

2x ax2

3

2 1

p

3

x a 1

p

x2 .

100

2

100

2

Найдем максимальное значение этой функции на отрезке [0;1].

Вычислим производную:

Q (x) 2 1

p

3

2a 1

p

х.

100

2

x

Приравняем ее к нулю и найдем значение х:

						2 1	p		3

Q (x)			0	при	x		100		2	.
Q (x)			0	при	x					.
					0			p
						2a 1		p

								100
Так как Q (x0 ) 2a 1		p		0 , то х0 – точка максимума.

	100
	100

				15
Теперь			найдем значение р, если x0 [0;1] . Решив неравенство
0 2 1		p	3	1 , получим р<25.

	100		2

Таким образом, если р>25, то выгоднее ничего не вкладывать в производство и разместить весь капитал в банк. Если р<25, то прибыль А больше, если деньги будут инвестированы в производство.

Пример 3. По прямой АВ (см. рис.4) проходит железнодорожный путь. В стороне на расстоянии s от пути находится пункт С, из которого следует перевести груз в пункт А. Предположим, что из пункта С можно добраться по прямой до произвольной точки железной дороги.

В	х	М	r – x	А

S

С

Рис. 4

По какой трассе следует перевезти груз из пункта С до железной дороги, а затем по железной дороге до пункта А, чтобы транспортные расходы были минимальными, если известно, что издержки по перевозке 1 тонны груза автотранспортом в 3 раза выше, чем издержки при перевозке по железной дороге на такое же расстояние, а также если транспортные расходы пропорциональны расстоянию? Вычислить минимальные транспортные издержки по полученной трассе.

Решение

Проведем [CB] [BA]. Пусть |ВА| = r. Предположим, что мы перевозим груз автотранспортом от С до М – какого-либо пункта на железной дороге. Введем обозначение |ВМ| = х.

Если груз необходимо перевезти по железной дороге на расстояние r от

пункта		В,	то путь по железной		дороге составит r-x. Так как

	CM	s 2	x 2 , транспортные расходы составляют:
	CM	s 2	x 2 , транспортные расходы составляют:

				y r x 3 s 2	x 2 , 0 x r .

Найдем, при каком значении х транспортные расходы будут минимальными. Для этого найдем наименьшее значение полученной выше функции на отрезке [0;r].

Материал: 4952

Смотрите также: