Материал: 5544

УДК 519. 6 ББК В 1

Вербицкий В. А. Численные методы. Часть 2 : учеб. пособие / В. А. Вербицкий, Е. А. Мясников, М. Ф. Тиунчик; под ред. М. Ф. Тиунчика. – Хабаровск :

РИЦ ХГАЭП, 2014. − 116 с. ISBN 978-5-7823-0623-6.

Учебное пособие предназначено для студентов и магистрантов экономических направлений подготовки, изучающих отдельными дисциплинами линейную алгебру и математический анализ. Вторая часть посвящена численным методам математического анализа.

Изложены вопросы приближения функций, нахождения корней уравнений, интегрирования функций и дифференциальных уравнений. Отдельный параграф посвящён вопросам аппроксимации, устойчивости и сходимости в теории разностных схем. Даны примеры решения задач с применением пакета EXCEL и набор заданий для самостоятельной работы.

Рецензенты:

Р. В. Намм, доктор физ.-мат. наук, профессор, гл. научный сотрудник ВЦ ДВО РАН

С. В. Соловьёв, доктор физ.-мат. наук, профессор кафедры прикладной математики ТОГУ

ISBN 978-5-7823-0623-6.

©Вербицкий В. А., Мясников Е. А., Тиунчик М. Ф., 2014

©Хабаровская государственная академия экономики и права, 2014

2

§ 1. Приближение функций

1.1. Постановка задачи о приближении функций

Пусть даны значения функции f(x) в некоторых точках отрезка [a; b]:

(1.1)

Сама формула для вычисления функции неизвестна или очень громоздка. Необходимо же иметь значения этой функции для промежуточных значений аргумента x, отсутствующих в данной таблице. Задача приближения исходной функции f(x) состоит в следующем: надо указать достаточно простую функцию φ(x), приближённо представляющую f(x) с той или иной степенью точности. Таким образом, для всех x из [a, b] должно выполняться приближённое равенство

f (x) (x) .

Тогда приближающая f(x) функция φ(x) называется интерполирующей. Процесс построения функции φ(x) называется задачей интерполирования. Точки x0 , x1 , , xn , в которых заданы значения исходной (интерполируемой) функции f(x), называются узлами интерполирования.

Термин «интерполирование» применяется в связи с тем, что с помощью функции φ(x) будут находиться приближённые значения функции f(x) для внутренних точек промежутка [ x0 , xn ] [a, b].

В теории приближений применяется ещё и термин «экстраполирование». Экстраполированием называют способ вычисления значений функции f(x) при заданной таблице (1.1) для значений аргументов, выходящих за границы промежутка [ x0 , xn ], т.е. для х<x0 и x>xn. Тогда f(х) будет некоторым продолжением

(расширением) f(x) вне промежутка [ x0 , xn ].

Возможны два подхода к поиску интерполирующей аналитической функции: 1) её значения в точках x0 , x1 , , xn должны совпадать с известными значениями,

и при этом на вид функции нет ограничений; 2) значения могут незначительно отличаться, но функция должна быть как мож-

но проще и заранее указанного вида (степенная, показательная и т.д.).

3

Первый приводит к построению полиномов, другой – к подбору функции методом наименьших квадратов.

В 1-м случае функцию φ(x) подбирают в виде полинома

(1.2)

поскольку степенные функции особенно просты и удобны для работы. Кроме того, при необходимости их можно приблизить другими функциями (например, разложить в тригонометрический ряд).

Во 2-м случае подбирают функцию с возможно меньшим числом параметров (например, линейную или показательную y Aekx ), проходящую возможно ближе к указанным точкам.

Известно, что через две точки на плоскости проходит только одна прямая, но сколько угодно парабол. Через три точки проходит уже единственная парабола 2-й степени, через 4 точки – единственная парабола 3-й степени, и т.д.

Через точки можно провести только одну параболу степени

n, или, что одно и то же, найти только один набор коэффициентов a0 ,a1 , an по-

линома (1.2), чтобы для всех k 0,1, ,n при подстановке xk получались yk : Pn xk yk .

Отсюда следует самый очевидный способ подобрать коэффициенты: составить систему из n+1 уравнения

и найти неизвестные a0 , a1 , , an .

Определитель системы (1.3) имеет вид

В алгебре он известен как определитель Вандермонда. Поскольку узлы интерполирования различны, 0 . Поэтому система (1.3) линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение a0 , a1 , , an , что означает суще-

ствование и единственность многочлена (1.2), приближающего функцию f x .

4

Многочлен (1.2) с коэффициентами, являющимися решением системы (1.3),

называется интерполяционным многочленом (полиномом). Приближение при помощи многочлена Pn(x) называют параболическим интерполированием.

Проблема в том, что в системе (1.3) обычно получаются большие коэффициенты xk m из-за высоких степеней m n ; саму систему при большом числе урав-

нений сложно решать; при решении накапливаются ошибки, и окончательное решение неустойчиво. К тому же систему уравнений приходится заново составлять и решать при добавлении сведений об ещё одной точке или о не-

скольких точках.

Более экономичны такие способы построения полиномов, как метод множителей Лагранжа и метод разделённых разностей Ньютона.

1.2. Метод множителей Лагранжа

Идея метода – искать полином не в виде (1.2), а как

ками, кроме точки xk :

0 x x x1 x x2 x xn ,1 x x x0 x x2 x xn , и т.д.

Полином (1.4) выглядит громоздко, но при подстановке в него x0 получается

Ln x0 A0 0 x0 , а остальные слагаемые обращаются в 0. При подстановке x1 получим Ln x1 A1 1 x1 , и т.д., что позволяет быстро найти числа A0 , A1 , , An .

В подробной записи многочлен Ln(x) имеет вид:

При этом очевидны равенства

Ln x0 y0 , Ln x1 y1 , , Ln xk yk , , Ln xn yn ,

5