Материал: 5544

т.е. в узлах интерполяции xk значения многочлена (1.5) совпадают со значениями приближаемой функции f(x) , так как согласно таблице (1.1) выполняются равенства yk f xk .

Формула (1.5) значительно упростится в случае равноотстоящих узлов интер-

которое называют формулой линейной интерполяции, так как многочлен L1(x) есть линейная функция x kx b . При таком подходе дуга исходной интерполируемой кривой y f x на промежутке [x0, x1] заменяется отрезком прямой

соединяющим две точки (х0, у0) и (х1, у1) исходной таблицы (1.1). Так как х1≠х0, эти точки не являются вертикальными. Из аналитической геометрии известно, что уравнение прямой на плоскости, проходящей через точки (х0,у0) и (х1, у1), не являющиеся вертикальными, имеет вид

y y0 y1 y0 ( x x0 ) . x1 x0

Предлагаем читателю установить, что уравнение совпадает с последним. Учитывая сказанное, приближённое равенство (1.6) можно переписать в виде

Формула линейной интерполяции функции f(x) используется для приближённого вычисления её значений внутри промежутка [x0, x1].

В математическом анализе (точнее, дифференциальном исчислении функций одной переменной) для дифференцируемых функций хорошо известно другое приближённое равенство

применяемое для приближённого вычисления значений функции в окрестности ( x 0 ; x0 ) точки х0 достаточно малого радиуса .

Равенство (1.9) следует из определения производной в точке, т.е. из равенства

или из приближённого равенства y(x0 ) dy(x0 ) для дифференцируемой функции, которое означает, что приращение функции в точке х0 ( y(x0 ) f (x) f (x0 ) )

примерно равно дифференциалу этой функции в точке х0 ( dy(x0 ) f (x0 ) x,x x x0 есть приращение аргумента). При этом точность последнего прибли-

жённого равенства тем больше, чем меньше x , т.е. чем ближе х к х0.

Так как справа в (1.9) стоит линейная функция, формулу (1.9) называют линеаризацией функции f(x) в окрестности точки х0. Эту формулу можно использовать как для x x0 , так и для x x0 , но достаточно близких аргументов х к х0.

Читателю рекомендуется дать геометрическую интерпретацию формулам

(1.8) и (1.9).

Схема построения полиномов Лагранжа

Шаг 1. Найдём коэффициенты k k xk :

всеми остальными значениями аргументов из таблицы (1.1).

Шаг 2. Пусть x – переменная. Составим произведение

x x x j x x0 x x1 x x2 x xn .

Полином Лагранжа для значений функции в точке x выглядит так:

Шаг 3. Раскрывая внешние скобки, можно получить многочлен степени n

как классический полином Лагранжа, а продолжая раскрытие скобок, свести к стандартному виду a0 a1x a2 x2 an xn , но обычно удобнее работать с поли-

номом в виде, полученном на шаге 2, хотя он и терпит устранимый разрыв во всех точках xk .

Пример. По таблице

построить полином Лагранжа и найти приближённые значения в точках 2,7 и 4,05. Решение. Удобно пронумеровать точки и значения:

x0 0, x1 1, x2 2, x3 3, x4 4 и y0 2, y1 3, y2 6, y3 11, y4 18.

Шаг 1. Находим коэффициенты

0 0 1 0 2 0 3 0 4 24 ,

1 1 0 1 2 1 3 1 4 6 ,2 2 0 2 1 2 3 2 4 4 ,

3 3 0 3 1 3 1 3 4 64 4 0 4 1 4 2 4 3 24 .

Шаг 2. Составим произведение x x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 . Полином Лагранжа:

Вычислим значение полинома Лагранжа в точке 2,7:

2,7 2,7 2,7 1 2,7 2 2,7 3 2,7 4 1,253 07 ,

причём каждый из множителей появится в знаменателе на следующем шаге;

Оставлять в ответе много знаков нет смысла, поскольку данные задачи – целые числа и нет информации об их точности.

Вычислим значение полинома Лагранжа в точке 4,05. Находим

4,05 4,05 4,05 1 4,05 2 4,05 3 4,05 4 1,329 4 ,

затем

1.3. Метод разделённых разностей и полиномы Ньютона

Метод Лагранжа прост, но его существенный недостаток в том, что при добавлении новой пары надо пересчитывать все коэффициенты. Метод

разделённых разностей позволяет в этом случае посчитать лишь дополнительный коэффициент без пересчёта остальных, и к тому же требует примерно в два раза меньше вычислений.

Пусть по-прежнему задана таблица (1.1) значений функции, и надо найти аналитическую зависимость y f x в виде полинома

Идея метода – найти разложение искомой функции в виде некоторого ряда по аналогии с рядом Тейлора, где учитывается приращение как скорость изменения функции, скорость изменения приращений и т.д.

Схема метода разделенных разностей состоит из двух частей.

Часть 1. Разностные аналоги производных

Для каждой пары соседних точек xi , xi 1 находим разностный аналог первой производной – дроби

9

Для каждой пары соседних значений 1i , 1i 1 находим разностный аналог 2-й

производной:

Верхние индексы означают порядок разностной производной, а не степень. Можно заметить, что y1 y0 10 x1 x0 . Также можно показать, что

y2 y0 10 x2 x0 2 0 x2 x0 x2 x1 ,

y3 y0 10 x3 x0 2 0 x3 x0 x3 x1 30 x3 x0 x3 x1 x3 x2 ,

и так до

ственно y0 , y1 , , yn .

Из курса алгебры известно, что если два полинома степени n совпали в n+1 точке, то они совпадут в любой другой точке и потому тождественны. Нашей целью было найти полином, принимающий указанные значения в n+1 точке.

10