Материал: 5544

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

	6				4
9)	x 2		;	10)	x 3		.
		x 2				x 3

Задание 3. Метод простых итераций в приближённых вычислениях

Найдите корни с точностью 0,001:

1)	2, 3	4,	4 5 ;	2)	3, 3 2, 4	6 ;	3)	5,	3	3,	4	7 ;	4)	6, 3 7,	4	2 ;
5)	4, 3	5,	4 8 ;	6)	10, 3 9,	4 5 ;	7)	8,	3	6,	4	3 ;	8)	13, 3 5,	4	7 ;
9)	8, 3	7,	4 11 ;	10)	7, 3 10,	4 2 .

Задание 4. Полиномы Лагранжа и Ньютона

1.По 4 точкам таблицы составьте полиномы Ланранжа и Ньютона.

2.Найдите значения полиномов в точках, отмеченных «?», и сравните.

3.Проверьте тождественность полиномов, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые. Верно ли, что в каждой точке полиномы равны?

4.Взяв 5 точек x0 , , x4 с шагом h 1, составьте интерполяционный сплайн 3-го

порядка по данным xk , yk на отрезке												x0 ; x4 .

	1)	x	–1	0	2	4	1		3				2)	x	–2			–1				1				3		0		2

		y	–2	1	6	9	?		?					y	–1						1	4				6		?		?


	3)	x	–1	0	1	4	2		3				4)	x	–2			0			2			3			–1			1

		y	–2	1	3	9	?		?					y	–4			1			5			8			?			?


	5)	x	0	1	3	5		2		4			6)	x	–1			0			1				4			2		3

		y	–2	0	4	10		?		?				y	0			1			3			10				?		?


	7)	x	–2	0	1	3	–1			2			8)	x	0		1			3			5				2		4

		y	8	5	4	0	?			?				y	6		5			2			–3				?		?


	9)	x	–2	0	2	3		–1			1		10)	x		0			2			4				5		1		3

		y	7	3	0	–2		?			?			y		–4			0			3				7		?		?

Задание 5. Метод наименьших квадратов

1.По данным задания 4 подберите методом наименьших квадратов линейную функцию.

2.Подберите тем же методом квадратичную функцию y ax2 bx c .

106

3.Найдите в каждом случае теоретические y xk и величину y xk yk 2 .

4.Постройте графики линейной и квадратичной функции; отметьте точки, данные в таблице. Сравните расположение точек относительно графиков.

Задание 6. Приближённое интегрирование

1.Разделив отрезок на 10 точек, найдите приближённые значения интеграла по формуле трапеций и по формуле Симпсона.

2.Сравните с точным значением, найденным по формуле Ньютона-Лейбница.

3.Найдите фактическую погрешность и сравните с максимально возможной погрешностью, предсказанной теоретическими формулами погрешности.

	1	x2 x dx ;				1	x2 2x dx ;						1				1
1)		x2 x dx ;				2)	x2 2x dx ;						3) x 1 2 dx ;				4)	x 1 2 dx ;
	0					0							0				1
	0	x 1 2 dx ;				2		dx					0,5	dx			1		dx
5)						6)		dx			dx ;		7)	dx		;	8)		dx	;
5)						6)	x				dx ;		7)	x		;	8)			;
	1					0	x			2			0,5	x	1		0		x 1
	1					0							0,5				0
	0,5			dx			1			dx
9)				dx	;	10)				dx		.
9)					;	10)						.
	0,5		1 x				1		4 x
	0,5						1

Задание 7. Задача Коши

Решите задачу Коши методом Эйлера, разделив отрезок на 5 частей. Уточните решение методом Рунге-Кутта.

y 2x y

1) y 0 1 ;

x 0; 1

y y 2x 5) y 0 1 ;x 0; 1

y y / x

9) y 1 2 ;

x 1; 2

y x 2 y	y 3x y	y 3x y
2) y 0 0 ;	3) y 1 0 ;	4) y 1 1 ;

x 0; 1	x 1; 2	x 1; 2
y x2 y	y y x2	y yx
6) y 0 0,5 ;	7) y 0 0,5 ;	8) y 1 0,5 ;
x 0; 1	x 0; 1	x 0; 1

y x2 / y
10) y 0,5 1 .
x 0,5; 1

Часть 2. Задания для работы в пакете EXCEL

Задание 1. Приближение функций полиномами

107

По данным таблицы найдите коэффициенты полинома, отвечающего в каждой точке условию Pn xk yk :

а) при помощи определителя Вандермонда и функций МОБР и МУМНОЖ; б) при помощи функции ЛИНЕЙН, считая независимыми переменными степени

1, x, x2 , , xn ;

в) сравните коэффициенты в каждом случае, проверьте выполнение условия; г) при помощи функции ЛИНЕЙН подберите полиномы 3-й и 4-й степени, найдите в каждом случае общее отклонение;

д) во всех случаях найдите значения полинома в точках, отмеченных знаком «?», и сравните результаты.

1)	x	–4	–3	–2	1	2	3	6	8	2)	x		–6		–4		–3		–1			0			2			5		6

	y	12	?	5	1	2	4	6	?		y		?		–1		–3		?			1			4			3		?


3)	x	–4	–3	–1	0	1	2	5	6	4)	x		–5		–4		–1		0	2			3			6				7

	y	?	–2	–1	1	0	?	3	?		y		?		–7		–2		1	0			?				–1			?


5)	x	–5	–3	–1	0	1	2	4	5	6)	x		–4		–3		–2		–1			0			1			3		4

	y	?	8	7	?	4	4	0	?		y		?		1		–3		?			2			5			8		?


7)	x	–3	–2	–1	1	2	3	4	8	8)	x		–5		–4		–2		–1			1			2			4		5

	y	?	3	1	0	?	4	7	?		y		?		7		5		?			4			4			0		?


9)	x	–4	–3	–2	1	2	3	4	5	10)	x	–6			–5	–3		–1				1			2			5		6

	y	?	0	7	9	?	4	0	?		y	?		–8		–2		0			?			4			0		?

Задание 2. Задача Коши

Решите задачу Коши на отрезке, разделив его на 10 частей, методом «предик- тор-корректор» 2-го, 3-го и 4-го порядка точности. Аргументы тригонометрических функций указаны в радианной мере.

y sin x y
1) y 0 0	;

x 0; 1

y ex y2

2)y 1 0 ;x 1; 1

108

y ecosx

y cos e y

y 0 1

;

4) y 0 1 ;

x 0; 2

x 0; 1

y 3x2 y2

x y

y 1 0

;

6) y 4 0

;

x 1; 2

x 4; 6

y 3x

x y

x2 y y

y 2 2

;

8) y 0 1

;

x 2; 3

x 0; 2

1/ 2

x2 y 2

y x2 y2

y 1 0

;

10) y 1 2

;

x 1; 1,5

x 1;

Задание 3. Системы дифференциальных уравнений

Решите Задачу Коши методом «Счёт-пересчёт» 2-го порядка на указанном отрезке. Найдите погрешность, воспользовавшись точным решением. Найдите, как меняется погрешность при уменьшении шага в 2 раза.

y z,

z 2 yz;

1) y 1 1,

z 1 1;

x 1;

2 ;

z x

y 1/ x,

y 0,6 / z,

z 0,4 / y;

z 1 1;

3) y 1 1,

x 1;

2 ;

0,6

z x

0,4

y x

0,4

y 0,4 /

2 y;

5) y 1 0,

z 1 1;

2 ;

0,8

0,4

y 0,5x

z x

z 2z / x;

2) y 1 0,

z 1 1;

x 1;

2 ;

z x

y ln x,

y 0,7 / z,

z 0,3 / y;

z 1 1;

4) y 1 1,

x 1;

2 ;

0,7

z x

0,3

y x

y 2z2

;

z 0 1;

6) y 0 1,

x 0;

1 ;

2 x

z e

y e

109

y 0,5					, z y2 ;
y 0,5				z	, z y2 ;
7) y 0 1,				z 0 1;
x 0; 1 ;

	0,5x		,		z e	x	.
y e			,		z e		.
y 2 yz,					z y;
9) y 1 1,				z 1 1; ;
x 1; 2 ;

	2	, z		1/ x.
y x		, z		1/ x.

	y z,				z z / x;
8)						z 1 1;
8)	y 1 0,					z 1 1;
	x 1;		2 ;

					z 1/ x.
	y ln x,				z 1/ x.
	zy 2 y2 ,
	zy 2 y2 ,					y			z	;
10) y 0 1,						z 0 1;
	x 0;		1 ;

		x		,	z e		2 x	.
	y e			,	z e			.

Задание 4. Задача Коши 2-го порядка

Заменой y z, y z сведите задачу к системе уравнений и решите на указанном отрезке методом Эйлера. Найдите погрешность, зная точное решение y x .

2 y 2 y x,

y 0

y 0 0,

x 0;

2 ;

x 2

2 y

;

y 1 0,5,

y 1 1,

x 1;

2 ;

y 2 y 3 ,

5) y 1 2,

y 1 0,5, ;

1; 2 ;

y 1

4 yx

y 0

;

y 0 1,

0; 1 ;

y e x 2 .

	y 2 y 3 ,
		2,
2) y 4		2,					y 4 0,25, ;

	x 4; 5 ;

				x.
	y			x.
					2
	y		y				2 y,
4)				y		;
						y 0 0,
	y 0 1,					y 0 0,
	x 0; 1 ;
		x 2
		x 2			.
	y e				.
	y y 2 / y,
6) y 2 1,						y 2 1/ 2, ;
	x 2; 3 ;


		x 1.
	y	x 1.
	y	0,5 y / y2 ,
8) y 1 2,						y 1 0,25, ;
	x 1; 2 ;


			x 3.
	y		x 3.

110

Источник: https://studfile.net/preview/16711204/

Смотрите также:


_1966(~1
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Логистическая технология JIT"
"Особенности правовой системы Российской Федерации" по дисциплине "Теория государства и права"
«Анализ ликвидности и платежеспособности предприятия» (на материалах ОАО Московская кондитерская фабрика «Красный Октябрь»)
«В истории мы черпаем мудрость». Фрэнсис Бэкон