Материал: 5544

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

	y y,

9)	y 0
			1, y 0 1, ;
	x 0;		1 ;

		x		.
	y e

		y y 2 ,
10)
10)	y 1		0, y 1 1,
			2 ;
	x 1;		2 ;

	y ln x.

Задание 5. Приближённое интегрирование

1.Разделив отрезок на 10 частей, найдите интеграл по формуле прямоугольников, по формуле трапеций и по формуле Симпсона.

2.Уточните решение методом Рунге, разделив отрезок на 20 частей.

3.Уменьшив отрезок интегрирования в 2 раза, выполните все действия заново. Обратите внимание на изменение погрешности.

1								0,5			x2dx					1		x3 2							3		x 2				2
1								0,5								1									3						2
1)			3	2dx ;			2)														dx ; 4)										5)		3	2
		x												;	3)													dx ;				x				dx ;
		x									x	1		;	3)			x 2									x3 1	dx ;								dx ;
											x	1						x 2									x3 1
0								0,5								1									1						1
1								1								2									2						1
																		x2 1
			dx								dx																dx								xdx
			dx				7) 0				dx														9) 1		dx				10) 0				xdx
6) 0					;								;		8)	1				dx ;										;							.
	x2 1 3									x 4 2							x3 2										x 2						x3 3
	x2 1 3									x 4 2							x3 2										x 2		x				x3 3
Задание 6. Метод Симпсона (все значения даны в радианной мере)
Вычислите интегралы по формуле Симпсона с точностью 10 6 .
					1														2
				1) cos x2					3 dx ;
				1) cos x2					3 dx ;								2)							sin x3 2dx ;
					0												0,5
					1		x										2,5					dx
				3)			e	dx			;						4)					dx			;
				3)			ln x 1				;						4)					ln x			;
					,0,5		ln x 1												2			ln x
					,0,5														2
					1												2
				5) cos ln x 1 dx ;														6) ln 2 sin x dx ;
					0												0
					/ 2														1
				7)	esin 2 x dx ;												8)		e x3 dx ;
					0												0,5
					2																1
					2	sin x															1		cos x
				9)		sin x			dx		;						10)						cos x			dx .
					1		x														1		x 2
					1																1
Задание 7. Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений
Решите с точностью 10 4 :
a) составляя					систему						линейных					уравнений									относительно						x xk 1 xk и
y yk 1		yk и решая её при помощи функций МУМНОЖ и МОБР, меняя при-

ближение вручную или копируя формулы специальной вставкой;

111

б) составив таблицу, где x

и y получают в явном виде по формулам Крамера.

Во 2-м случае проверьте устойчивость решения:

а) относительно начального приближения;

б) относительно свободного коэффициента уравнения.

xy 2 y2 7

;

2xy x

2 y2 1

;

2xy 3y 5

5xy 10

3x 8

xy 2x 3y 9

;

4x 14

;

xy 6x2 4 y 6

2xy

2 12x 5

;

2x2 xy y3 24

;

3y2 5xy 6

2x2 y 10

3y yx 11 ;

6x 3xy 2 y 1

3xy

;

6xy xy 2 x3 2

2x2

yx y3 2

;

10)

x3 y2 2x 3y 8

4x 3y x3 6

xy2 4x 3y

Задание 8. Применение рядов в приближённых вычислениях

Найдите двумя способами при помощи ряда Маклорена с точностью 10 5 указанные числа.

1-й способ. Найдите каждое слагаемое по общей формуле, накапливая при этом сумму.

2-й способ. Найдите общую формулу отношения двух соседних элементов. При помощи этой формулы каждый следующий элемент выразите через предыдущий (также накапливая сумму ряда).

1) e 0,2 ,

3) e0,15,

5) e 0,3 ,

7) e 0,25,

9) e0,23,

ln 0,96, cos 0,30, arctg 0,1; ln 0,86, cos 0,15, arctg 0,12 ; ln 1,12, cos 0,33, arctg 0,15 ; ln 0,75, cos 0,40, arctg 0,25; ln 1,26, cos 0,35, arctg 0,11 ;

2)	e 0,1 ,	ln 1,16,	sin 0,20,	arctg 0,2 ;
4)	e0,12 ,	ln 1,10,	sin 0,25,	arctg 0,05 ;
6)	e0,25, ln 1,25, sin 0,24, arctg 0,22 ;
8)	e 0,15, ln 1,30, sin 0,35, arctg 0,30 ;

10) e0,13, ln 0,82, sin 0,13, arctg 0,18 .

Сравните полученные значения с тем, что получается при непосредственном использовании встроенных функций EXCEL.

112

Задание 9. Применение рядов в приближённом интегрировании

Разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена, представьте интеграл в виде числового ряда и найдите его значение с точностью 0,001.

	1		0,5
1)	e 2 x2 dx ;	2)	cos x2 dx ;
	0.5		0.5
	0,8		0,8
3)	arctg 0,5x2 dx ;	4)	ln 1 x2 dx ;
	0.2		0.5
	0,5		1
5)	x3e2 x dx ;	6)	sin 0,5x2 dx ;
	0.3		0.5
	0,5		0,4
7)	arctg x2 dx ;	8)	ln 1 2x2 dx ;
	0.4		0.2
	1,5		0,6
9)	e0,5 x2 dx ;	10) x4 cos 2xdx .
	15		0.8

113

Библиографический список

1.Алберг Дж. Теория сплайнов и её приложения / Дж. Алберг, Э. Нильсон, Дж.

Уолш. – М. : Мир, 1972.

2.Бабенко К. И. Основы численного анализа / К. И. Бабенко. – М. : Наука, 1986.

3.Бахвалов Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов. – М. : Наука, 1973.

4.Бахвалов Н. С. Численные методы в упражнениях и задачах / Н. С. Бахвалов, А. В. Лапин, Е. В. Чижонков. – М. : Высшая школа, 2000.

5.Березин Н. С. Методы вычислений. Т. 1,2. / Н. С. Березин, Н. П.Жидков. – М. : Физматгиз, 1962.

6.Бор К. Практическое руководство по сплайнам / К. Бор. – М. : Радио и связь, 1985.

7.	Вапник В. Н. Восстановление	зависимостей по	эмпирическим	данным	/
В. Н. Вапник. – М. : Наука, 1979.
8.	Вержбицкий В. М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения):
учеб. пособие для вузов / В. М. Вержбицкий. – М. : Высшая школа, 2000.
9.	Вержбицкий В. М. Основы	численных методов:	учебник для	вузов	/
В. М. Вержбицкий. – М. : Высшая школа, 2005. – 840 с.

10.Вержбицкий В. М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): учеб. пособие для вузов / В. М. Вержбицкий. – М. : Высшая школа, 2001. – 400 с.

11.Воднев В. Т. Математический словарь высшей школы / В. Т. Воднев, А. Ф. Наумович, Н. Ф. Наумович; Под ред. Ю. С. Богданова. – Минск. : Выш. Шк., 1984. – 527 с.

12.Волков Б. А. Численные методы / Б. А. Волков. – М. : Наука, 1979.

13. Гончаров В. Л. Теория интерполирования и приближения функций / В. Л. Гончаров. – М. : Наука, 1979.

14.Гутер Р. С. Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта / Р. С. Гутер, Б. В. Овчинский. – М. : Наука, 1970.

15.Демидович Б. П. Основы вычислительной математики / Б. П. Демидович, И. А. Ма-

рон. – М. : Наука, 1970.

16.Демидович Б. П. Численные методы анализа / Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э. З. Шувалова. – М. : Наука, 1967.

17.Иванов В. В. Методы вычислений на ЭВМ: справочное пособие / В. В. Иванов. – Киев : Наукова думка, 1986.

18.Ильин В. А. Основы математического анализа : в 2 ч. / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. –

М. : Наука, Ч.1 – 1971, Ч.2 – 1993.

19.Калиткин Н. Н. Численные методы / Н. Н. Калиткин. – М. : Наука, 1978.

20.Каханер Д. Численные методы и программное обеспечение / Д. Каханер, К. Моулер,

С. Нэш. – М. : Мир, 1998.

114

21. Киреев В. И. Численные методы в примерах и задачах / В. И. Киреев, А. В. Панте-

леев. – М. : Высш. Шк., 2004. – 480 с.

22. Корнейчук. Н. П. Сплайны в теории приближений / Н. П. Корнейчук. – М. : Наука,

1984.

23. Крылов В. И. Вычислительные методы / В. И. Крылов, В. В. Бобков, П. И. Мона-

стырный. М. Наука, Т. 1 – 1976. – 303 с. , Т. 2 – 1977. – 399 с.

24. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики / Г. И. Марчук. – М. : Наука,

1977.

25. Мысовских И. П. Лекции по методам вычислений / И. П. Мысовских. – М. : Физма-

тгиз, 1962.

26. Никольский С. М. Квадратурные формулы / С. М. Никольский. – М. : Наука, 1988. – 255 с.

27 Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 2 / Н. С. Пискунов. – М. : Высшая школа, 1978. – 576 с.

28. Пугачёв В. С. Лекции по функциональному анализу / В. С. Пугачёв. – М. : Изд-во МАИ, 1996.

29. Румшиский Л. З. Математическая обработка результатов эксперимента / Л. З. Рум-

шиский. – М. : Наука, 1971. – 192 с.

30. Самарский А. А. Введение в численные методы / А. А. Самарский. – М. : Наука,

1987.

31. Самарский А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. – М. : Наука, 1989.

32. Сборник задач по методам вычислений / под ред. П. И. Монастырного. – М. : Наука,

1994.

33. Стечкин С. Б. Сплайны в вычислительной математике / С. Б. Стечкин, Ю. Н. Суббо-

тин. – М. : Наука, 1976.

34. Самарский А. А. Методы решения сеточных уравнений / А. А. Самарский, Е. С. Николаев. – М. : Наука, 1978.

35. Самарский А. А. Устойчивость разностных схем / А. А. Самарский, А. В. Гулин. –

М. : Наука, 1973.

36. Турчак Л. И. Основы численных методов / Л. И. Турчак, П. В. Плотников. – М. : Физматгиз, 2002.

37. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. Т. 2 / Г. М. Фихтенгольц. –

СПб., 2001. – 464 с.

38. Хемминг Р. В. Численные методы / Р. В. Хемминг. – М. : Наука, 1968.

39. Щербатюк С. Ф. Введение в анализ : учеб. пособие / С. Ф. Щербатюк. – Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 1998.

40. Штеттер Х. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений / Х. Штеттер. – М. : Мир, 1978.

41. Математический энциклопедический словарь – М. : Советская энциклопедия, 1988.

115

Источник: https://studfile.net/preview/16711204/

Смотрите также:


_1966(~1
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Логистическая технология JIT"
"Особенности правовой системы Российской Федерации" по дисциплине "Теория государства и права"
«Анализ ликвидности и платежеспособности предприятия» (на материалах ОАО Московская кондитерская фабрика «Красный Октябрь»)
«В истории мы черпаем мудрость». Фрэнсис Бэкон

Материал: 5544

Задание 5. Приближённое интегрирование

Задание 7. Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений

Задание 9. Применение рядов в приближённом интегрировании

Смотрите также: