Материал: 5544

Тем самым 1-я часть задачи решена, однако формулу можно привести к виду, более удобному для вычислений. Одновременно это укажет экономичный алгоритм вычисления.

Часть 2. Рекурсивное вычисление функции

Пусть надо найти значение полинома Ньютона (1.10) в точке x. Обозначим zn n 0 , затем последовательно находим

z0 y0 z1 x x0 .

Полученное число представляет собой значение полинома Ньютона в точке х. Смысл схемы понятен, если в формуле для y(x) вынести за скобки x x0 , затемx x1 и так до x xn 1 .

Пример. Известна таблица значений функции

Составить полином Ньютона. Найти приближённые значения в точках 2 и 0,7. Решение. Пронумеруем значения аргументов и функции:

Часть 2. Выполняется отдельно для каждого значения x. Для точки x 2 :

11

z4 40 1,

z3 30 z4 x x3 2 1 2 3 1, z2 20 z3 x x2 3 1 2 1 4,

z1 10 z2 x x1 8 4 2 0 0,

z0 y0 z1 x x0 18 0 2 2 18.

Для точки x 0,7 находим z4 40 1,

z3 2 1 0,7 3 0,3,

z2 3 0,3 0,7 1 3,09, z1 8 3,09 0,7 0 5,837,

z0 18 5,837 0,7 2 2,2401.

Ответ: значения полинома Ньютона равны 18 в точке 2 и 2,2401 в точке 0,7.

Замечание. Легко проверить, что функция f x x4 2 соответствует данным задачи. Такой же полином получится после раскрытия всех скобок и приведения подобных слагаемых в полученном нами полиноме Ньютона.

Метод разделённых разностей выгоднее, чем метод Лагранжа, если необходимо найти функцию во многих точках, поскольку 1-я часть выполняется только 1 раз. Более того, при добавлении в исходную таблицу ещё одной пары x, y не надо пересчитывать всё заново, как в полиномах Лагранжа; достаточно добавить

n+1 разность, а именно 1 , 2 , 3 , , n 1 . Пересчитать придётся лишь

n n 1 n 2 0

zn 1 , , z0 при вычислении значения в конкретной точке, поскольку в начале рас-

чётов появится параметр zn 1 , соответствующий разности n0 1 .

1.4. Приближение функций рядами МакЛорена

Известно, что любую дифференцируемую n раз функцию f x можно представить в виде суммы Тейлора

остаток убывает к нулю с ростом числа слагаемых.

12

В частности, если функция аналитическая, то есть дифференцируема сколь

Хорошо известны ряды МакЛорена для пяти важнейших функций:

Последние две формулы справедливы для x 1;1 , остальные – при любых x. Ценное свойство рядов МакЛорена – в том, что аргумент x в них можно заме-

нить на выражение ax p где a, p – любые числа. Кроме того, функцию f x мож-

но умножить на x m при любом m, и тогда все элементы ряда также умножатся на x m . Это значительно расширяет возможности разложения функций в ряд.

Подобные примеры можно привести и для других функций.

Ряды МакЛорена допускают почленное дифференцирование и интегрирование, и найти производную от функции – то же, что найти производную каждого слагаемого в её разложении в ряд. Учитывая, что все элементы разложения – степени переменной x с некоторым числовым коэффициентом, поиск производной или первообразной весьма упрощается и возможно получение новых рядов.

13

Продифференцировав каждое слагаемое три раза, получим

Формула справедлива в любой точке х, а для малых х числовое значение получается очень быстро в силу быстрого убывания x 2k 1 к 0.

Сходящиеся ряды можно перемножать, получая также сходящийся ряд, что можно проверить, перемножив

При перемножении необходимо взять несколько слагаемых в каждом множителе, раскрыть скобки и собрать подобные слагаемые.

Недостаток применения рядов МакЛорена в приближённых вычислениях состоит в том, что при удалении от нуля для вычисления функции в конкретной точке надо брать всё больше слагаемых.

получим уже погрешность 0,1. Этот же недостаток сохраняется и при вычислении определённых интегралов и при разложении в ряд решения задачи Коши.

1.5. Метод наименьших квадратов

Подбор полинома, принимающего во всех необходимых узлах указанные значения, обычно невыгоден по двум важным причинам:

1)степень полинома высока – на 1 меньше числа точек (числа пар значений);

2)изменение входных данных заметно изменяет коэффициенты полинома.

14

Высокая степень полинома усложняет вычисления, а поскольку данные измерений подвержены погрешностям, нет смысла требовать точного совпадения теоретических значений полинома с практическими результатами измерений. Лучше найти простую функцию, проходящую достаточно близко от необходимых точек.

Тип функции часто удаётся определить, отметив точки на плоскости, например, увидеть линейную зависимость y ax b , если расположение точек напоминает прямую линию.

Идея подбора функции основана на том, что любая зависимость характеризуется некоторыми параметрами-коэффициентами.

Например, линейная функция y ax b включает два параметра – a, b, а

функция y aeSx b содержит три параметра a, S, b. Если предполагается линейная зависимость, надо найти a, b так, чтобы общее отклонение теоретических значений, подсчитанных по формуле y xk axk b , было бы меньше, чем для любой другой линейной функции, то есть чем при любых других a, b. Из такого же принципа находят коэффициенты a, b, c для параболической функции, и т.д.

Под общим отклонением понимают суммарное отклонение по всем узлам квадратов разностей между предполагаемым теоретическим значением f a, b, , c, xk и заданными в таблице (1.1) значениями yk (нумерацию узлов xk

в) в общем случае f a,b, , c, xk yk 2 для произвольной функции

k

y f a,b, ,c, x .

Возведение в квадрат выражений f a, b, , c, xk yk необходимо, чтобы раз-

личия разного знака между теоретическими и наблюдаемыми значениями не могли в сумме нейтрализовать друг друга. Это удобнее, чем применение суммы

f (a,b, , c, xk ) yk .

k

Именно по построению функции, определяющей общее отклонение, и в силу того, что это отклонение надо сделать минимально возможным, идёт речь о ме-

тоде наименьших квадратов (МНК).

15