Материал: 5544

Таблица 6.2 – Поиск полинома при помощи обратной матрицы

Полиномы Лагранжа

В таблице 6.3 показано, как построить полином Лагранжа, проходящий через

ны их разности: от левого аргумента отнимаем верхний. По диагонали поменяли

0 на 1.

В столбце Пk найдены произведения. Так, 6 1 1 2 3 , и т.д. Число Х – то, в котором надо найти значение полинома Лагранжа.

Встолбце Х–Хk найдены соответствующие разности.

Встолбце Yk занесены значения функции из условия задачи.

y

В столбце Дробь найдены значения k , в ячейке Сумма стоит сумма

k x xk

этих дробей. В ячейке ПХ стоит произведение элементов столбца Пk.

101

Наконец, Y(X) – произведение ПХ и Суммы. Это и есть значение полинома Лагранжа в интересующей нас точке Х.

Меняя число Х, будем мгновенно получать значения полинома Лагранжа в соответствующей точке. Проверить правильность решения можно так:

а) если в качестве аргумента Х брать данные задачи, т.е. числа xk , появится сообщение о делении на 0;

б) если в качестве аргумента Х брать числа, очень близкие к xk , в ячейке

Y(X) появятся числа, похожие на соответствующие значения функции yk .

Полиномы Ньютона

В таблице 6.4 построен полином Ньютона по 5 точкам

Таблица 6.4 – Построение полинома Ньютона

зывались ссылки на соответствующие ячейки, при этом столбец X зафиксирован. Числа –3, –1 и 14 получены копированием формулы вниз.

Числа 13, –4 и 1 после 29 получены копированием той же формулы вправо, однако ссылка на число –1 из столбца X последовательно заменялась ссылками на числа 0, 1 и 3.

102

Число x справа – то, в котором надо найти значение полинома. Строку чисел от –2 до 3 можно получить транспонированием X.

Особый интерес представляет последняя строка, заполняемая справа налево. Число 1 в ней получено ссылкой на 40 1 , число –3 получено так:

а) нашли разность x xn 1 , где xn 1 – ссылка на число в строке, а не столбце;

б) умножили на число справа;

в) прибавили число, стоящее сверху в строке k 0 .

Таким образом, 3 x 1 *1 4 , где в данный момент x 2 .

Числа 7, –8 и 5 получены копированием формулы влево. В результате получили, что полином Ньютона в точке x 2 равен 5.

Меняя точку x, будем получать новые значения полинома.

Метод Эйлера решения задачи Коши

Удобно отвести 1-й столбец под xk – узловые точки отрезка, а 2-й столбец под yk – значения искомой функции. Под значения правой части уравнения, т.е.

под f xk , yk , отводим 3-й столбец. Столбец с точками xk можно заполнить по приведённой ранее схеме.

В 1-й строке заносим x0 и y0 из начального условия y x0 y0 , в 3-м столбце считаем f x0 , y0 со ссылками на эти ячейки.

Во 2-й строке под y0 заносим формулу вычисления yk 1 yk hf xk , yk , т.е.

y0 hf x0 , y0 со ссылками на 1-ю строку. Скопировав формулы 2-го и 3-го столбца мышью, получаем во 2-м столбце значения функции в узловых точках.

В таблице 6.5 решено таким способом уравнение y x y при условии y 1 1 на отрезке 1; 2 . Для сравнения рядом решено то же уравнение на том

Если же решать задачу Методом Рунге-Кутта, заполняем 2 таблицы методом Эйлера, на их основе составляем 3-ю таблицу. в 3-ю таблицу копируем 1-й и 2-й столбцы из таблицы для 10 точек (узловые точки и значения функции в них), а из таблицы, полученной по 20 точкам, берём значения y0 , y2 , y4 , , y20 . В 4-м столбце пересчитываем значения функции.

Методы «счёт – пересчёт» 2-го порядка реализуются в EXCEL достаточно просто. Для методов 3-го и особенно 4-го порядка основная трудность – следить за аргументами при вычислении очередного коэффициента k.

Приближённое интегрирование

точно найти f x0 и скопировать формулу до конца, т.е. до значения f b .

Дальнейшее зависит от того, по какой формуле мы собираемся найти интеграл. Если это формула трапеций, ищем сумму f xk , вычитаем из неё вели-

чину 0,5 f a f b и результат умножаем на шаг h.

Если это формула Симпсона, удобно ещё правее в 3-м столбце занести числа 1,4,2,4,2, 4,2,4,1 (1-е число равно 1, затем чередуются 4 и 2, начиная с 4, а напротив точки b пишем 1). Находим произведения элементов 2-го и 3-го столбца, т.е. величины 1 f a , 4 f x1 , 2 f x2 и т.д., суммируем и умножаем на шаг h, делённый на 3. Получаем значение интеграла.

краткости оставлены 3 знака после запятой. Отрезок разбит на 4 части.

Таблица 6.6 – Вычисление интеграла методом трапеций и методом Симпсона

занести c, затем d, а далее про помощи ссылок формулу d d c и скопировать её. Тогда получится, что d d c c , c c d d и т.д.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Часть 1. Задания для работы без пакетов прикладных программ

Задание 1. Решение уравнений

Решите уравнения:

а) графически с точностью 0,1, приведя к виду x3 ax b ; б) методом деления отрезка с точностью 0,01;

в) методом простых итераций с точностью 0,001, приведя к виду x 3 ax b ; г) методом секущих (хорд) с точностью 0,001; д) методом касательных с точностью 0,001; е) комбинированным методом с точностью 10 4 .

Сравните число действий, необходимое для достижения одинаковой точности.

Задание 2. Метод простых итераций

Решите уравнение x g x методом простых итераций с точностью 0,001,