Материал: 5596

а можно заменить

ln x

t, x

et , dx d et

et dt ,

а также

1

x 6

et

6

e 6t , и

x6

тогда

ln x

dx

1

ln xdx

e 6t tet dt

te 5t dt .

x6

x6

Этот интеграл также известен:

U

t

dU

dt

1

1

1

1

e 5t

te 5t dt

1

e 5t t

e 5t dt

e 5t t

C .

dV e 5t dt

e 5t

V

5

5

5

5

5

5

Но t

ln x , а e 5ln x eln x 5

x 5 , и ответ совпадёт с полученным выше.

Пример 7. Найдём интеграл

xdx

вначале непосредственно по частям, а

cos2

x

затем – также по частям, но после предварительной замены.

1-й способ. Пусть x

U , тогда dV

dx

, dU

dx , V

dx

tg x , и

cos2 x

cos2 x

xdx

sin x

d

cos x

C .

x tg x

tg xdx

x tg x

dx

x tg x

x tg x

ln

cos x

cos2 x

1

cos x

cos x

2-й способ. Заметим, что

tg x ,

и обозначим tg x

t . Тогда x

arctg t

cos2

x

и, с учётом этого,

xdx

xd tg x

arctgtdt .

cos2 x

Взяв arctg t

U , получаем, что dV

dt , а также dU

d arctg t

dt

и V

t .

t 2

1

По формуле интегрирования по частям

arctg tdt

t arctg t

tdt

t arctg t

1

d t2

1

t arctg t

1

ln t2

1

C .

t2

1

2

t2

1

2

Но t 2

1 tg2 x

1

1

и по свойствам логарифма

1

1

,

ln

ln

cos x

cos2 x

cos2 x

2

1)

x ln xdx;

x2 ln xdx;

x3 ln xdx;

ln x

dx;

ln x

dx; x ln 2xdx;

ln 4x

dx ;

x2

x4

x5

2)

arcsin tdt;

arccostdt;

arcsin 2tdt;

arctg tdt; arctg 4tdt;

arc ctg

t

dt .

2

Рациональная дробь

Pn

x

– это отношение двух полиномов (многочленов)

Qm

x

P x a

a x a

x2

a

n

xn

и Q x b b x b xm .

n

0 1

2

m

0 1

m

Дробь правильная, если n

m . Если n

m , дробь неправильная, и её можно

x3

5

x

1

x

5

.

x2

x2

x

x

Элементарными называют дроби 4 видов:

A

A

Ax

B

Ax

B

,

I)

;

II)

;

III)

; IV)

x b

x

b k

x2 px

q

x2 px

q k

где k 1 – целое число, и

p2

4q

0 (иначе дробь 3-го вида распадается на сум-

6 2x

2

4

;

6x2 17x 17

2

4x 5

, и т.п.

x2 1

x 1 x 1

x 3 x2 1

x 3 x2

1

1)

A

C ;

dx

Aln

x b

x

b

2)

A

dx

A

;

x

b

k

1

k

x

b

k 1

3)

Ax

B

dx

заменой x

p

t приводит к сумме первообразных вида

x2

px

q

2

ln x2

px

q

и arctg

2x

p

с некоторыми коэффициентами.

4q

p2

ИД1. В заданиях 1 – 6 найдите числа A, B, C в разложении дроби

mx2

nx p

Q3

x

1)

mx 2 nx p

A

B

C

;

x 2 x 4 x 3

x 2 x 4 x 3

3)

mx 2

nx

p

A

B

C

;

x2

x

1

x

x2

x 1

Пример 1. Пусть для дроби

mx 2

nx

p

указаны параметры m = 3, n = 0

x

2

x

4

x

3

и p = –5. Тем самым дана дробь

3x2

0x

5

, или

3x

2

5

.

x

2

x

4

x

3

x 2 x

4 x 3

3x

2 5

A

B

C

.

x 2 x

4 x 3

x 2

x 4

x 3

A

3x 2

5

в точке

x

2 , т.е. A

3

2 2

5

7

;

x

4

x

3

2

4

2

3

6

B

3x2

5

в точке

x

4 , т.е. B

3 42

5

43

;

x

2

x

3

4

2

4

3

42

C

3x2

5

в точке

x

3 , т.е. C

3

3 2

5

22

.

x

2

x

4

3

2

3

4

7

3x2

5

7

1

43

1

22

1

.

x 2 x 4 x 3

6

x 2

42

x 4

7

x 3

Значит,

3x2

5

dx

7

dx

43

dx

22

dx

.

x 2 x 4 x 3

6 x 2 42 x 4 7 x 3

Все интегралы – простейшие и находятся по таблице, поэтому

3x2

5

dx

7

ln

x

2

43

ln

x

4

22

ln

x

3

C .

x

2

x

4

x

3

6

42

7

Ответ:

а)

3x2

5

7

1

43

1

22

1

;

x

2

x

4

x

3

6

x

2

42

x 4

7

x

3

3x

2

5

7

43

22

б)

dx

ln

x 2

ln

x 4

ln

x 3

C .

x

2 x

4

x

3

2

6

42

7

Пример 2. Пусть для дроби

mx

nx

p

указаны m = 2, n = –5, p = 1 и тем

x x

5 x

1

самым дана дробь

2x 2

5x 1

. Все множители – линейные скобки, поэтому

x x

5

x

1

2x2 5x

1

A

B

C

.

x x

5

x

1

x

x

5

x

1