Материал: 5596

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам


	5x	7				1					1				6x
Тогда	5x	7	dx	5		1	5		6x2	7	1	arcsin			6x	C , где C 5C	7C	2	.
Тогда			dx	5			5		6x2	7		arcsin				C , где C 5C	7C		.
	5	6x2				6					6		5			1
	5	6x2				6					6		5

		5x	7					5			7			6x
Ответ:		5x	7		dx			5	5 6x2		7	arcsin		6x		C .
							6
		5	6x2								6		5
		5	6x2								6		5

Замечание 2. В дальнейшем часто придётся разбивать интеграл на 2 или 3 интеграла, в каждом из которых появляется константа ( C1 , C2 , и т.д.). Для краткости будем подразумевать (но не указывать) константы в каждом отдельном вспомогательном интеграле (или указывать, но не сопровождать номером), а записывать будем лишь общую константу C в ответе. При этом всегда C – некая

линейная комбинация C

aC1

bC2 dCn .

КИ3. Получив в знаменателе полный квадрат и сделав замену, найдите

;

4x 13

6x 13

4x 5

xdx

;

2 dx

;

3 dx

;

2x dx

;

dx ;

4x 13

6x 13

4x 5

x2dx

;

2 dx

;

2x dx

;

3 x2 dx

;

3 2x

dx .

4x 13

6x 13

4x 5

Пример 4.

? Заметив, что

16x

16x 73 x

73 x 8 2

64 73 x 8 2

9 ,

заменяем x

8 t , тогда x

8 и dx

d t 8

t 8

1dt

dt .

Подставим в интеграл:

arctg

C .

x 4 2

t 2

16x 73

9 3

Пример 5.

10x 9

Поскольку x2

10x

5 2

16 , можно сделать замену x

t , при ко-

торой x

5 и dx

d t

dt . Подставим:

C .

10x 9

x 5 2

t 2

2 4

t 4

x 1

Пример 6.

3 dx

Здесь x2

1 2

64 , заменяем x

t , откуда x

1 и dx

dt .

Подставим:

2x 3 dx

2 t 1 3

2t 1

dt ,

x 1 2

t 2

2x 65

t 2

где t x

1. Разобьём интеграл на два:

2tdt

t 2

Так же, как в предыдущих примерах,

2tdt

d t 2

t 2

C ,

t 2

а 2-й интеграл – табличный:

arctg

C .

t 2

Итак,

arctg

C , где t

1. Тем самым

t 2

3 dx

arctg

x 1

C .

Пример 7.

3x dx

Теперь x2

3 x

2 2

1, замена x

t , поэтому x

2 и dx

dt .

Переходим к интегралу от новой переменной:

3x dx

2 2

3 t

t 2

t 2dt

tdt

t 2

4x 3

где t x

2 .

Найдём отдельно

а)

t 2

1 1

t 1

C ;

t 2

2 1

t 2

б)

1 d t 2

C ;

t 2

2 t 2 1

2 t 2

1 2 t 2

в)

C (табличный интеграл).

Умножим 2-й результат на 7, 3-й на 10, соберём подобные слагаемые и

вернёмся к старой переменной:

3x dx

x 2

C .

КИ4. Найдите интегралы от иррациональных функций:

;

8x 15

8x 20

8x x2

xdx

;

x dx

;

xdx

;

4x dx

;

8x 15

8x 20

8x x2

x2dx

;

2x dx

;

3 x2 dx

;

x2 2 dx

;

4x 29

8x 12

6x x2

4 x2

	dx		;


8x		x2
8x		x2
	xdx		;


8x		x2
8x		x2
	x2dx			.

	8x	x2
	8x	x2

Пример 8. Найдём

3 dx

. Похожий интеграл без корня уже найден

выше (пример 6), и достаточно на соответствующем шаге добавить корень:

2x 3 dx

2t 1

2x 3 dx

2t 1

dt ,

t 2

2x 65

t 2

где t x

1. Разбиваем

2tdt

t 2

и находим

2tdt

d t 2

а)

2 t 2

64 C ;

2 z C

t 2

б)

t 2

C .

t 2

Таким образом,

t 2

t t 2

C , где t

t 2

3 dx

Ответ:

C .

Пример 9.

x dx

? Полный квадрат удобно получить так:

4,5 2

4,52

6,25

4,5 2 ,

где 6,25

4,52

14 . Тогда

x dx

6,25

4,5 2

Заменим t

4,5 . При этом x

4,5 и dx

dt :

4,5

0,5

dt .

6,25

4,5 2

6,25

t 2

6,25

t 2

6,25

t 2

Действуем так же, как в примере 8:

			t				1	d t 2					1		d 6,25	t 2		1
а)			t			dt	1	d t 2					1		d 6,25	t 2		1	2	6,25 t 2			6,25
							2					2						2
		6,25			t 2			6,25			t 2			6,25		t 2
		6,25			t 2			6,25			t 2			6,25		t 2
б)			0,5			dt	0,5arcsin				t	0,5arcsin				t	,
б)						dt	0,5arcsin					0,5arcsin					,
		6,25			t 2					6,25				2,5
	t	0,5												t							0,5arcsin	x	4,5
	t	0,5		dt			6,25	t 2		0,5arcsin				t		6,25 x		4,5 2				x	4,5


	6,25 t 2											2,5											2,5
					4	x dx
Ответ:					4	x dx			9x x2			14			0,5arcsin 0,4x				1,8		C .


					9x	x2	14
					9x	x2	14

t 2 ;

C .

Замечание 3. Нельзя из-под корня выносить знак «–» или любой отрицатель-

ный общий множитель:

x2 4 ;

18x

x2 18x 36 , и т.д.

В примере 9 показан единственно возможный правильный способ действий.

Пример 10. Посмотрим, что изменится, если в примере 9 поставить квадрат:

найдём

x2 dx

. Теперь после тех же замен окажется, что

4,5

t 2

16,25

dt .

6,25

4,5 2

6,25

t 2

6,25

t 2

Как обычно,

t 2

16,25

t 2dt

tdt

16,25

6,25

t 2

6,25

6,25 t2

6,25

и 2-й и 3-й интегралы находятся так же, как в примере 9:

6,25

;

6,25

arcsin

6,25

2,5

Согласно указаниям на стр. 19, 1-й интеграл можно преобразовать так:

t 2 dt

t 2

6,25

t 2 6,25

6,25

t 2

6,25

t 2

6,25

t 2

6,25

t 2

где снова

arcsin

, а

6,25

2,5

6,25

t2 dt .

6,25

Новый интеграл находят или тригонометрической подстановкой t

2,5cos z ,

или повторным интегрированием по частям,

взяв U

6,25

и dV

dt . Вос-

arcsin

пользуемся готовой формулой

t 2 dt

A t2

(стр. 19):

3,125arcsin

6,25 t2 dt

6,25

2,5

Умножим все интегралы на соответствующие им коэффициенты и соберём вместе:

3,125arcsin

6,25

t 2

6,25 t 2

16,25arcsin

2,5

в ответе приведём подобные слагаемые.

Ответ:

6,25

t 2

19,375arcsin

C .

2,5

§ 4. Замена переменной в неопределённом интеграле

Иногда удаётся перейти к более простому интегралу, заменив переменную.

Пусть дан			f	x dx . Представим, что аргумент – некоторая функция x			g t . То-
гда f	x	f	g t – новая функция от параметра t. Обозначим её как y t				. Кроме
того,	dx	d g t		g t dt . Подставим:
				f x dx	f g t d g t	y t g t dt .
Но y t g			t	также новая функция от параметра t, обозначим её как h t			. Полу-

чили новый интеграл h t dt . Задача – подобрать замену x g tтак, чтобы но-

вый интеграл оказался проще исходного.
Для этого некоторую часть функции f x	заменяют параметром t: t	x ,
выражают из этого равенства переменную: x	g t и затем уже приходят к инте-

гралу от y t gt . Как правило, t – это какой-либо корень, скобка, показательная функция и т.п. – всё, что неудобно интегрировать.

Фактически интегрирование заменой переменных начинается не с поиска подстановки x g t , а с обозначения некоторой части функции f xновой буквой t, с последующим выражением x как функции x g tи пересчётом dx .

Источник: https://studfile.net/preview/16711256/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27