Документ: 5601, страницы 21-25 | База учебных материалов

F 2,5 0,936 – если число фирм меньше 2,5, оно равно 0, 1 или 2. По формулам сложения (§ 2) вероятность этого ‒ 0,936;

F 6 P Y 6 1 ‒ среди 3 фирм число проработавших менее 4 лет (и вообще, чем-то отличившихся) заведомо меньше 6.

Ответ: F 0 0, F 0,5 0,216, F 2,5 0,936, F 6 1 .

§7. Непрерывные случайные величины – общие понятия

Унепрерывной СВ (НСВ) бесконечно много возможных значений, а вероятность принять какое-то конкретное из них равна 0. Поэтому закон распределения НСВ в виде таблицы невозможен. Вместо него применяют 2 функции.

Функция распределения НСВ ‒ вероятность принять значение, меньшее ука-

занного: F x	P CB		x (см. также замечание на с. 18).
Плотность распределения НСВ ‒ производная f x							F x .
Например,	F 2	0,7 указывает, что в 70% случаев СВ меньше числа 2 (и со-
ответственно в 30% случаев – больше числа 2). Если F 4								1, величина всегда
меньше 4, а если F		2 0 , то она всегда больше				2 .
Вероятность попадания в некоторый интервал						c;d	находится по формуле
								b
P a CB b	F b	F a или, что равносильно,			P a	CB	b	f x dx .
								a
Математическое ожидание MX				xf x dx ,	дисперсия DX			x MX 2 f x dx ,
или, что равносильно,			DX M X 2	MX 2 , где M X 2			x2 f	x dx .

Если область возможных значений НСВ – не вся числовая ось, а лишь некоторый интервал a; b , то функция распределения имеет вид

	0,	если x	a,
F x	F0	x , если a x b,
	1,	если x	b,

где F0	x ‒ формула для вычисления. При этом плотность равна 0 вне интервала
a; b ,	а интегралы	при вычислении среднего и дисперсии принимают вид
b		b	b
MX	xf x dx , DX	x MX 2 f x dx , M X 2	x2 f x dx .
a		a	a
		21

Пример 1. Функция распределения некоторой НСВ имеет вид

0, если x 1,

F x 0,2 x 1 , если 1 x 6, 1, если x 6.

Найти плотность распределения, числовые характеристики и вероятности попадания СВ в интервалы: а) 0; 4 ; б) 2; 5 ; в) 4; 6 ; г) 7; 8 ; д) 1; 8 .

Решение. Плотность распределения – это производная от функции распределения, поэтому

	0',	если x	1,		0,	если	x	1,
f x	0,2 x 1 ', если 1 x 6,			f x	0,2, если 1			x 6,
	1',	если x	6,		0,	если	x	6.

В точках 1 и 6 плотность не определена. Математическое ожидание

MX		xf x dx				6	x0,2dx	0,2		6	xdx	0,2		x2		6	0,1 62			12	3,5 .
						6				6				x2
						1				1					2
																1
																1
Дисперсию найдём по формуле DX											M X 2 MX 2 , где MX										3,5 ‒ только
что найденноё значение, а средний квадрат случайной величины
M X 2	x2 f	x dx		6	x2 0,2dx			0,2	6	x2dx		0,2	x3		6			1	63	13	215	14	1	.
				6					6				x3					1			215		1

				1					1			3			1		15				15	3
			1	1					1			3			1
Тем самым DX	14		1	3,5 2			14,333	12,25 2,083 . При этом среднее квадратиче-
Тем самым DX	14			3,5 2			14,333	12,25 2,083 . При этом среднее квадратиче-
		3

ское отклонение		X		2,083 1,443 .

Интегралы по всей числовой оси заменены на интегралы по отрезку 1; 6 , поскольку только на нём плотность распределения отлична от нуля (только в этот

отрезок может попасть случайная величина).
Вероятности попадания в интервалы находим как P a	X	b F b F a ,
учитывая, как именно определена функция распределения	F x	в этих точках.

Если точка левее 1, функция распределения в ней равна 0. Если точка правее 6, функция распределения в ней равна 1. Если же точка больше 1, но меньше 6,

значение функции распределения находим по формуле F x

0,2 x 1 .

а)

P 0

X

4

F 4 F 0 . Здесь 0 1 и

F 0 0, но F 4

0,2 4

1

0,6 , по-

скольку 4

1;6 . Поэтому F 4

F 0

0,6 0

0,6 ;

б)

P 2

X

5

F 5

F 2 .

Обе

точки

входят в

интервал

1; 6 ,

поэтому

F 2

0,2 2

1

0,2 и F 5

0,2 5

1

0,8 , а тогда F 5

F 2

0,8

0,2

0,6 ;

22

в) P 4

X

6

F 6

F 4 . Здесь F 4

0,2 4 1

0,6 . В точке 6 функция F x

достигает значения 0,2 6

1

1. Имеем F 6

F 4

1

0,6

0,4 ;

г) P 7

X

8

F 8

F 7

1

1 0 ,

обе

точки

лежат правее 6 и для них

F x 1. Можно вообще обойтись без вычислений:

в интервал

7; 8

величина

попасть не может по условию, и вероятность равна 0;

д) P 1 X 8

F 8

F

1

1 0

1, поскольку

1 1 и для неё F x

0 . Ве-

личина заведомо попадёт в интервал

1; 8 , ведь область её возможных значе-

ний – интервал 1; 6 , полностью содержащийся в

1; 8 .

Пример 2. Подберите параметр А,

чтобы функция f x

стала плотно-

A x

стью распределения некоторой случайной величины Х на интервале

1; 9

, и вос-

становите функцию распределения F x . Сравните вероятности попадания СВ в левую и правую половины интервала 1; 9 .

Решение. Интеграл от плотности распределения всегда равен 1, причём сама плотность должна быть неотрицательна. Составляем интеграл

															9								9
													f x dx					A		xdx			A x1/ 2 dx
															1								1
и находим
			9	x1/ 2dx					x0,5 1		9		x1,5	9		2				9		2						2				52			.
											9			9

																	x		x				9	9 1 1					27	1
			1					0,5		1	1	1,5		1	3		x		x	1	3		9	9 1 1			3		27	1
			1					0,5		1	1	1,5		1	3					1	3						3						3
Значит, свойство									f	x dx		1 приводит к условию A														52	1 , откуда				A			3		.
Значит, свойство									f	x dx		1 приводит к условию A															1 , откуда				A					.
																								3									52

Подставив это значение в функцию																				f	x		A		x , проверим любым способом,
				3																											3
что	f x			3			x	0 для всех x							1; 9 . Можно заметить, что														f	1	3			1 0 и ко-

				52																											52
рень – возрастающая функция, поэтому для																							x	1 также f					x	0 . Либо учесть,
что			0 и			3		0 , и т.п.
		x				3
		x			52
					52

Если же в подобных задачах хотя бы где-то на интервале плотность окажется отрицательной, в условии заведомо ошибка и задача не имеет решения.

3				9	3				3
3					3				3	x ‒ плотность
Итак,		x 0 на 1; 9	и				xdx 1	, поэтому f x
Итак,	52	x 0 на 1; 9	и	1	52		xdx 1	, поэтому f x	52
распределения некоторой СВ на					1; 9 .
Восстановим F x :
						23

а) СВ не попадает в область левее точки		x 1,	поэтому для всех x 1 будет
P CB x 0 , т.е. F x 0 ;
б) СВ всегда попадает левее точки x	9 (и теоретически никогда не равна 9),
поэтому для всех x 9 получится P CB	x	1, т.е.	F x 1;

					x	x
в) для x			составляем F x		x	x	3		3		x x
	1; 9				f x dx		3	xdx	3		x x

							52		52	1,5
					1	1	52		52	1,5
	0,		если x	1,
Итак, F x		1
		1	x x	1 , если x	1; 9 ,
	26		x x	1 , если x	1; 9 ,
	26
	1,		если x	9.

x

1

261 x x 1 .

Вероятность попадания в левую и правую части интервала 1; 9 :


				1				1				1				0,392 ,
P CB	1; 5	F 5	F 1	1		5	5	1		1 1		1		5 5	1
P CB	1; 5	F 5	F 1	26		5	5	26		1 1		26		5 5	1
				26				26				26
					1				1				1			0,608 ,
P CB	5; 9	F 9	F 5		1	9	9		1		5 5		1	27	5 5
P CB	5; 9	F 9	F 5	26		9	9	26			5 5	26		27	5 5
				26				26				26

и в сумме 0,392 0,608 1.

§ 8. Непрерывные случайные величины – основные распределения

Основные законы распределения НСВ – равномерный, показательный, нормальный. В математической статистике работают также с распределениями Стьюдента, Фишера, Пирсона ( 2 ) и др.

Равномерное распределение. Случайная величина распределена равномерно на интервале a;b , если ни одно значение из этого интервала не предпочтительнее другого, а значения вне интервала невозможны. В этом случае плотность и функция распределения соответственно имеют вид

	c,	если x	a;b ,		0,	если x	a,
f x	c,	если x	a;b ,	и F x	c x a , если a x b,
	0,	если x	a;b		1,	если x	b,
					1,	если x	b,

1

где параметр c b a .

Вероятность попадания в интервал	P X c;d	d	c	при условии, что

		b	a

c;d a;b (интересующий нас интервал полностью должен входить в область

24

возможных значений). Если интервал с какой-либо стороны выходит за допустимые границы, его следует «сократить» до этих границ.

Как правило, равномерно распределены погрешности при округлении (но не при измерении!), в том числе при взгляде на часы, время ожидания автобуса при случайном подходе и т.п. То, что зависит от многих причин, распределено иначе.

Пример 1. В отчёте величину вклада округляют до ближайшей тысячи рублей. Составьте функцию распределения погрешности при таком подходе.

Решение. Речь о том, что, например, вклад 123 456 руб. превратится в 123 000, и погрешность составит 456 руб.. Вклад 75 987 руб. превратится в 76 000 руб. с погрешностью 13 руб., и т.п.

Таким образом, возможна погрешность от 0 руб. (если вклад и так выражен целым числом) до 500 руб. (если он кратен 500 руб.).

В условии ничего не сказано о том, что какое-либо отличие от тысячи встречается чаще остальных, поэтому считаем, что отличия от меньшего числа тысяч распределены равномерно на участке от 0 до 1 000 руб. Тогда отличия от бли-

жайшей тысячи распределены равномерно на участке от 0 до 500 руб.

Итак,

погрешность

равномерно распределена

на

интервале

a;b ,

где

a 0, b

500 ; плотность распределения

f x

1

0,002

на

данном

b a

500

0

a;b и равна 0 вне его.

Функция равномерного распределения всегда соединяет точки

a; 0

и

b;1

прямой линией. В нашем случае она растёт от F 0

0 до F 500 1 . Уравнение

такой линии: F x

x

0

0,002x .

500

0

Ответ (обратите внимание на знаки в неравенствах):

	0,	если x	0,		0,	если x	0,
f x	0,002, если 0		x 500,	F x	0,002x, если 0		x	500,
	0,	если x	500,		1,	если x	500.

Пример 2. Найдите вероятности того, что погрешность в примере 1 а) не превысит 200 руб.; б) превысит 250 руб.; в) превысит 150 руб.;

г) не превысит 600 руб.; д) будет от 150 до 250 руб.; е) превысит 550 руб. вначале при помощи функции распределения, а затем через отношение длин.

25

Материал: 5601

Смотрите также: