Материал: 5642

6

оценки риска, то есть перерасчет годового VaR-лимита в дневной и вычисление на его основе лимита на размер позиции.

Оставляя за рамками данной статьи проблему «дивизионального» распределения лимитов (по видам инструментов, дилерам, центрам прибыли и т.д.), остановимся подробнее на задаче расчета торговых лимитов для различных временных интервалов.

В данном исследовании величина VaR и производные от нее лимиты определены

только для отдельной позиции, характеризующейся единственным фактором риска

(ценой инструмента). Считая размер годового VaR-лимита для позиции заданным экзогенно (например, утвержденным правлением или советом директоров банка), ниже мы кратко остановимся на используемых методах расчета VaR и дневных лимитов на размер позиции.

Показатель VaR может быть рассчитан как параметрическими, так и непараметрическими методами. Параметрические методы позволяют получить аналитическую формулу для вычисления VaR как функцию от статистически оцениваемых параметров (факторов риска), в то время как непараметрические методы оценивают VaR посредством сценарного (исторического или статистического) моделирования. В статье для расчета VaR-лимитов используются параметрический дельта-нормальный метод (в вариантах с нулевым и ненулевым математическим ожиданием доходности позиции) и непараметрический метод исторического моделирования.

Дельта-нормальный метод базируется на предположении о нормальном распределении непрерывно наращенной доходности, определяемой как:

где: Vt – рыночная стоимость позиции в момент времени t.

Согласно данному методу, VaR на один день торгов определяется следующим образом1:

где: μt – математическое ожидание дневной доходности позиции; σt – стандартное отклонение дневной доходности позиции;

kt– квантиль нормального распределения, соответствующая вероятности α. В дальнейшем примем α = 1%, kα = 2,33.

Ожидаемая дневная доходность в момент времени t оценивается как среднее значение по выборке N последних значений доходности (в последующих расчетах положим N = 256):

Стандартное отклонение доходности оценивается через выборочную дисперсию:

1 Поскольку VaR обычно отражает прогнозируемый размер убытка в абсолютном выражении, а выражение в скобках в формуле (2) в нормальном случае предполагается отрицательным, то последнее для получения положительного значения VaR необходимо умножить на —Vt .

7

Расчет VaR может быть упрощен, если ожидаемую дневную доходность принять равной нулю (µ t= 0), что позволит снизить погрешность при оценивании данного параметра1. В этом случае VaR, определяемый по формуле (2), сводится к следующему выражению:

причем стандартное отклонение доходности в формуле (5) оценивается как

Для T > 1 день оценку VaR для позиций, стоимость которых линейно зависит от значения фактора риска, можно получить с помощью следующей формулы:

Формула (6) будет справедлива при условии независимости и стационарности распределения доходности (последнее означает, что моменты распределения μt и σt не зависят от времени). На реальных рынках эти предположения, как правило, не выполняются (особенно в периоды кризисов), что ведет к завышению оценок риска при масштабировании VaR на более длительные временные горизонты (соответственно к занижению дневных VaR-лимитов при обратном масштабировании годового VaR- лимита).

При упрощенной оценке VaR (при допущении µt = 0) формула (6) сводится к следующему виду:

Пересчет годового VaR в дневной VaR-лимит осуществляется как с помощью формулы (6), так и упрощенной формулы (7).

Показатель VaR для отдельно взятой позиции, подверженной единственному фактору риска, может быть рассчитан с использованием метода исторического моделирования следующим образом:

где: ∆rt,α – квантиль эмпирического распределения дневной доходности порядка α, рассчитанная в день t.

В качестве исторических сценариев в данном исследовании используются однодневные арифметические доходности (отношение разности цен закрытия текущего и предыдущего дней к цене закрытия предыдущего дня), рассчитанные по определенной выборке цен. Полученные значения доходности ранжируются в виде вариационного ряда, и затем строится эмпирическое распределение частот, непосредственно по которому и определяется искомая квантиль.

1 Как правило, погрешность вычисления VaR при допущении о равенстве ожидаемой доходности нулю оказывается меньшей, чем погрешность оценки ожидаемой доходности (тренда) по историческим данным.

10

Из формул (14) и (16) следует, что если математическое ожидание доходности принимает ненулевые значения, то при постоянном годовом VaR-лимите дневной VaR- лимит будет уже переменной величиной, зависящей от ожидаемой доходности μt и стандартного отклонения σt.

При сильных изменениях этих параметров возможны существенные колебания дневного лимита, что нежелательно с точки зрения управления рисками. Дневной лимит может даже оказаться отрицательным, если при большом значении μt и малом σt знаменатель выражения (16) (то есть значение VaR при Vt = -1) в отличие от нормального случая будет положительным. Поскольку числитель дроби (16), как правило, принимает отрицательные значения, то дневной лимит в этом случае также становится отрицательным, что экономически бессмысленно. Существуют следующие возможности избежать таких ситуаций при расчете дневного лимита.

1.Сильных колебаний величины VaR-лимита можно избежать, если вместо годовых лимитов использовать, например, квартальные или месячные лимиты, так как с сокращением временного горизонта ошибка при масштабировании дневного VaR на более длительные периоды с помощью квадратного корня также уменьшается.

Однако такой подход предполагает, что банки осуществляют перераспределение экономического капитала и перерасчет основанных на нем лимитов чаще, чем один раз

вгод (ежеквартально или ежемесячно), что может быть неоправданно с экономической точки зрения.

2.Вместо того чтобы каждый день заново оценивать ожидаемую доходность и стандартное отклонение доходности, для этих величин можно рассчитать их собственные средние значения по большим выборкам исторических данных. Такой подход обладает одним важным для практики преимуществом, а именно: при постоянном годовом лимите дневной VaR-лимит не будет изменяться, а при двух других видах лимитов (соответственно ограничивающем убытки и динамическом)

колебания дневного VaR-лимита будут происходить только вследствие учета понесенного дилером убытка или полученной прибыли1.

В данном исследовании был выбран второй подход. Тогда выражение (16) для дневного VaR-лимита примет следующий вид:

стандартного отклонения дневной доходности.

Легко видеть, что дневной VaR-лимит будет увеличиваться с ростом и при

случае он не будет отражать текущую динамику рынка. Поэтому размер максимальной позиции выведем из формул (2) и (17) как функцию от σt и µt :

1 Тем самым устраняется одна из возможностей манипулирования величиной дневного VaR – лимита, однако возникают дополнительные расходы, связанные с необходимостью оценки средних значений ожидаемой доходности и дисперсии доходности.