Документ: 5691, страницы 51-55 | База учебных материалов

51

lim xn	lim yn	lim xn yn	lim xn	lim yn	lim xn yn
	b			b 0
	b
	b
			0		0


В этой таблице значения ил символы столбца lim xn					можно заме-

нить на соответствующие значения или символы столбца lim yn , а столбца lim yn – на значения или символы столбца lim xn ; при этом приведён-

ные ответы для предела суммы и произведения сохранятся. Сохранятся и символы неопределённостей, которые в таблице подчёркнуты.

Приведём теперь таблицу некоторых особых случаев при нахожде-

нии пределов		xn	и	x			yn .; соответствующие неопределённости в таб-
нии пределов			и	x			yn .; соответствующие неопределённости в таб-
		yn				n
		yn
лице подчёркнуты.

lim xn	lim yn				lim			xn	lim xn			lim yn		lim (x	yn )
					lim			yn							n
								yn
a				0					a	1
a 0	0( yn	0)							0	a	1		0
	0( yn	0)							a	1			0
	b 0								0	a	1
	b 0			0
	0			0
														00
0					0				0			0
0					0				0			0
									1					1
									1					1
												0	0

В таблицах отмечены «неопределённые выражения», виды которых характеризуются следующими символами:

52

00 , , , 0 , 00 , 1 , 0 .

Это означает, что о пределе соответствующего выражения никакого общего заключения сделать нельзя. Возможны различные ответы (и это ниже

будет проиллюстрировано на примере неопределённости вида 00 ). В связи

с этим и принято говорить, что имеется неопределённость соответствующего вида. На вопрос о том, чему равен предел соответствующего выражения, можно ответить только тогда, когда известны законы изменения последовательностей. Как только на основании законов ответ будет найден (имеется конечный предел или бесконечный предел; нет ни конечного, ни бесконечного предела), то говорят, что неопределённость раскрыта.

Итак, обратимся к неопределённости вида 00 . Речь идёт о нахожде-

нии предела последовательности	xn	, если	lim xn	0 , lim yn 0 .
	yn

Сразу отметим, что это особый случай, т.к. нельзя воспользоваться теоремой 9 о пределе частного, поскольку lim yn 0 . Если бы предел числите-

ля был отличен от нуля lim xn 0 при условии lim yn 0 , то ответ

был бы найден во второй таблице. Таким образом, надо на примерах показать, что в зависимости от характеров законов последовательностей возможны различные ответы.

Так, например,

1)

пусть xn

c

,

yn

1

, тогда lim

xn

C ;

yn

n

2)

пусть xn

1

, yn

1

,

тогда

lim

xn

lim

1

0;

n2

n

yn

n

3)

пусть xn

1

,

yn

1

,

тогда

lim

xn

lim

n

;

n

n2

yn

4)

пусть xn

(

1)n 1

,

yn

1

, тогда

xn

( 1)

n 1

(предела во-

n

yn

все нет).

Отметим, что все последовательности

xn ,

yn в этих примерах явля-

ются бесконечно малыми (см. пункт 3.3). Раскрыта неопределённость вида

53

0 при конкретно взятых законах изменения переменных (при конкретно

0

выбранных последовательностях). Как отмечено выше, наблюдаем различ-

ные ответы. Предел дроби (при неопределённости 00 ) может быть конеч-

ным числом и, в частности, нулём (см. примером 1 и 2); предел дроби может быть бесконечным (пример 3); дробь может не иметь ни конечного, ни бесконечного предела (пример 4).

По поводу других неопределённостей (		и т.д.) читателю предо-

ставляем провести рассуждения самостоятельно (часть вопросов и заданий будет внесена в упражнения).

Раскрытие различных указанных неопределённостей даже при конкретных законах, которыми задаются последовательности, может в некоторых случаях представлять собой определённую трудность. В каждом таком случае приходится изыскивать приёмы преобразования выражений у виду, когда о пределе можно дать конкретный ответ.

Рассмотрим на примерах некоторые приёмы раскрытия неопределённостей. Различные приёмы будут изучаться в теории пределов функций.

Пример 1. Требуется найти

lim 25nn 35.

При n числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности. Следовательно, применить теорему 9 о пределе частного нельзя, т.к. в условии этой теоремы предлагается существование конечных пределов.

Согласно второй таблице имеется неопределённость вида . Для её рас-

крытия сначала преобразуем последовательность, разделив числитель и

знаменатель на n . Воспользуемся тем, что последовательности				5	,	3
				n	,	n
				n		n
бесконечно малы (по определению доказано, что	lim	1	0 ; потом обраща-
бесконечно малы (по определению доказано, что	lim	n	0 ; потом обраща-
		n

емся к теореме 3). Далее применяем теорему 9 о пределе частного и теорему 8 о пределе алгебраической суммы. В подробной записи имеем

						5	lim	2	5		5

	2n	5			2	n			n	lim 2	lim n			2	0		2	.
	2n	5			2	n			n	lim 2	lim n			2	0		2
lim 5n		3		lim		3			3		3		5		0	5
lim 5n		3		lim		3			3		3		5		0	5
			5				lim	5		lim 5	lim
						n						n
						n			n			n

									54
Пример 2. Найти
							lim	2n2		5n 2					.
							lim	4n2		3n		1			.
								4n2		3n		1
В подробной записи имеем следующее:
									2		5				2		lim	2	5		2
	2n2
																					n2
lim			5n 2					lim			n			n2					n
			5n 2								n			n2					n
	4n2		3n		7				4		3				7		lim	4	3		7
	4n2		3n		7						3				7				3		7
											n			n2
																			n		n2
																			n		n2
		lim 2		5	lim	1	2	lim	1
		lim 2		5	lim	n	2	lim	n2				2		5 0		2 0			2		1	.
						n			n2				2		5 0		2 0			2		1
		lim 4		3	lim	1	7	lim	1			4			3	0	7	0	4			2
		lim 4		3	lim	n	7	lim	n	2
									n

3.7. Предельный переход в равенстве и неравенствах

Сначала приведём теорему о предельном переходе в равенстве. На самом деле этой теоремой уже воспользовались при решении примеров предыдущего пункта, т.к. по сути это есть теорема о единственности предела. В примерах проводились такие преобразования, что последовательность оставалась такой же.

Теорема 11. Если две последовательности равны xn yn и имеют

конечные пределы	(lim xn a,	lim yn b) , то равны и эти пределы:
	a	b .
Так как xn	yn для всех n , то имеем одну и ту же последователь-

ность. Таким образом, мы находимся в условиях теоремы 6 о единственности предела.

Этой теоремой обычно пользуются в форме предельного перехода в равенстве

xn

yn

lim xn

lim yn .

(3.10)

Заметим, что обратное утверждение к (3.10), вообще говоря, не вер-

но. Иначе, из условия lim xn

lim yn ещё не следует, что xn

yn . Дей-

ствительно, lim

1

lim

1

0, однако

1

(для всех

n имеем

n

1

).

n

55

Теорема 12. Если последовательность

xn

имеет конечный предел

a и xn

С xn

C , то a С a C .

Доказательство. Ограничимся рассмотрением случая

xn

С для

всех n (случай xn

С рассматривается аналогично). Требуется доказать

неравенство a

С . Предположим противное:

a

C . Тогда C

a

0. По

условию дано,

что lim xn

a . Тогда согласно определению предела для

положительного числа

С

a можно указать такой номер

,

что при

всех

n

N будет выполняться неравенство

xn

a

C

a .

Последнее

неравенство равносильно следующим двум неравенствам:

C

a

xn

a

C a .

Используя правое из этих неравенств, получим, что xn

С . Это противо-

речит условию теоремы, что xn

С . Теорема доказана.

Следствие. Если последовательность

xn

имеет конечный предел a

и xn

0 xn

0 , то и a 0 a 0 .

Теорема 13.

Если для двух последовательностей,

имеющих конеч-

ные пределы (lim xn

a, lim yn b) , выполняется неравенство

xn

yn ,

то

и

a

b .

Доказательство. По условию дано, что xn

yn . Тогда элементы по-

следовательности

xn

yn

неотрицательны:

xn

yn

0 . Поэтому по

приведённому следствию неотрицателен и её предел: lim xn

yn

0.

Из

теоремы

о пределе

разности

имеем:

lim xn

lim yn

0

или

a b

0 . Таким образом,

a b , что и требовалось доказать.

Теорема устанавливает допустимость предельного перехода в нера-

венстве, соединённом с равенством:

xn

yn

lim xn

lim yn .

(3.11)

Конечно, в 3.11 знак

всюду можно заменить на знак .

Обратим внимание на то,

что из строгого неравенства

xn

yn , во-

обще говоря, не следует строгое неравенство

lim xn

lim yn .

Можно

лишь утверждать следующее:

xn

yn

lim xn

lim yn .

Так, например,

1

при всех n , а

n

lim

1

lim

1

0.

n

Материал: 5691

Смотрите также: