Документ: 5691, страницы 41-45 | База учебных материалов

		41
ные в этом пункте:
xn	1 n 1n , xn	n , xn n .

Обратное утверждение, вообще говоря, не имеет места, т.е. не всякая неограниченная последовательность будет бесконечно большой величи-

ной. Например, неограниченная последовательность

1, 2, 1, 3, ..., 1, n,...

не		является бесконечно большой, поскольку при	1 неравенство
	xn	не выполняется для всех элементов xn с нечётными номерами.

3.3. Бесконечно малые последовательности и их свойства

Особый интерес представляет случай, когда предел последовательности равен нулю a 0 .

Определение 5. Последовательность, имеющая своим пределом нуль,

называется бесконечно малой.

С помощью логических символов это записывается так:

lim xn	0 xn		0			0	N n N :	xn	. (3.6)
Бесконечно малые последовательности принято обозначать строч-
ными греческими буквами –						n , n , n	и т.д.
Используя определение 5, докажем, что последовательность с общим
членом		1	является бесконечно малой.				Действительно, для любого
членом	n	n	является бесконечно малой.				Действительно, для любого
	n

0 для всех n				1	будет выполняться требуемое неравенство из (3.6):
0 для всех n					будет выполняться требуемое неравенство из (3.6):

	n	1		1		.
		1		1

			n		n
			n		n		1
Тогда в качестве номера	можно взять N						1	1.

Приведём ряд примеров бесконечно малых последовательностей, которые позволят выявить сущность любого конечного предела a .

Итак, рассмотрим следующие последовательности, заданные формулами их общих членов:

1) xn 0 ;

2) xn	n (n	1,	2, 3),
	0 для	n	4;

42

	xn	1				( 1)n
3)									;
3)						n			;
						n
	xn	2				(	1)n
4)										;
4)						n				;
						n
5)	xn	1		;
5)	xn		n	;
			n
6)	xn			1		;
6)	xn				n	;
					n
7)	xn	(			1)n		1	.
7)	xn					n		.
						n

Вподобной записи эти последовательности таковы:

1)0, 0, ..., 0, ... (частный случай стационарной последовательности);

2)1, 2, 3, 0, 0, ..., 0, ... (частный случай финально постоянной после-

довательности);

3)0, 1, 0, 12 , 0, 13 , ...;

4)1, 32 , 13 , 34 , 15 , 63 , ...;

5)1, 12 , 13 , 14 ,...;

6)		1,		1		,		1	,	1	, ...;

				2				3		4
7)	1,		1	,	1		,		1	, ....
		2			3				4

У первой последовательности все члены совпадают с пределом – числом нуль; у второй последовательности все члены, начиная с четвёртого, совпадают с нулём. Эти две последовательности как переменные величины не представляют особого интереса. Во всех остальных случаях ни одно в отдельности взятое значение этой переменной величины, если оно не нуль, как в третьем примере, не может считаться «сколь угодно малой величиной». Суть в том, что в последних примерах (3) – 7)) последовательности есть переменные величины, которые в процессе своего изменения (изменения аргумента n ) в конце концов могут стать по абсолютной величине меньше произвольно взятого положительного числа , сколь бы малым оно ни было.

Эти примеры интересны ещё и тем, что характеризуют многообразие тех возможностей, которые охватываются определением предела (в данном

43

случае определением бесконечно малой). Последовательность может принимать значения, равные своему пределу (в примере 1 все значения равны

предельному; в примере 2 все значения при n 4 равны своему пределу –
числу нуль; в примере 3 при всех нечётных значениях n	члены последо-

вательности равны своему пределу), а может и не принимать значений, равных пределу, как в примерах 4 – 7. Несущественно, лежат ли члены последовательности с одной стороны от предела или нет (в примере 5 все члены расположены правее своего предела – нуля, в примере 6 – левее нуля, в примере 7 – располагаются поочерёдно то справа, то слева от нуля). Наконец, несущественно также, приближается ли переменная с каждым шагом (увеличением номера n на единицу) к своему пределу (в примерах 5 – 7 приближение к нулю идёт с каждым шагом; в примере 4 члены последовательности поочерёдно то приближаются к своему пределу нуль, то удаляются от него).

Рассмотрим основные свойства бесконечно малых величин.

Теорема 1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть

бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть

n

и

n

– бесконечно малые последова-

тельности. Зафиксируем

0 . Так как по определению бесконечно малой

величины

может быть любым положительным числом, то по числу

2

для

n

найдётся номер

1, что для

n

1 будет выполняться нера-

, а для

,

венство

n

найдётся свой номер

2 , что

n

для

2

n

всех

2.

Возьмём

за

наибольшее из

чисел

1

и

2 :

max(

1,

2 ) .

Тогда для n

N будут одновременно выполняться

оба неравенства:

n

и

n

. Следовательно,

2

,

n

2

то есть при любом

0 для n

N

n

. Это и означает, что

n

есть бесконечно малая последовательность.

Следствие 1. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство приводится методом математической индукции. Теорема 2. Произведение двух бесконечно малых последовательно-

стей есть бесконечно малая последовательность.

44

Доказательство.

Так как

n

–

бесконечно малая, то для

0

1

n

1 :

n

, а так как

n

также бесконечная малая после-

довательность,

то

для

1

2

n

2 :

n

1.

Пусть

max

1,

2

; тогда при n

N будут выполняться оба неравенства:

n

и

n

1. Следовательно,

n

1

для

n

N и

0 . Это означает, что последовательность

n

есть бесконечно малая.

Следствие 2. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство можно провести методом математической индукции. Теорема 3. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность представляют собой бесконечно ма-

лую последовательность.

Доказательство. Пусть xn – ограниченная последовательность, а n – бесконечно малая. Согласно определению 6 главы 2 имеем:

		С 0	n N :	xn	C .
Так как	n	– бесконечно малая, то для
	n

0

N

n

N :

n

.

с

c

Следовательно,

xn

n

xn

n

c

n

c

0

n N .

Поэтому

n

– бесконечно малая

последовательность.

Следствие 3. Произведение постоянной величины на бесконечно малую есть величина бесконечно малая.

Действительно, постоянная величина может рассматриваться как частный случай ограниченной переменной.

Теоремы этого пункта (и их следствия) позволяют выяснить, является ли конкретная последовательность бесконечно малой. При этом не нужно

использовать определение 5, т.е. по заданному находить номер , что не всегда просто. Будем применять только один, доказанный по определе-

нию 5, факт:		1	есть величина бесконечно малая. Поясним сказанное
нию 5, факт:	n	n	есть величина бесконечно малая. Поясним сказанное
	n

примерами. Покажем, что последовательности, заданные общими членами

					45
2		1			( 1)n 1		sin n
	,			,		,		,
	,		2	,		,		,
n		n	2		n		n
		n

являются бесконечно малыми. Действительно, справедливы представления:

2	1		1		,	1		1		1		,	( 1)n 1	( 1)	n 1 1		,	sin n		sin n	1	.
n		n		n		n	2		n		n		n			n			n		n

Первая последовательность представлена в виде суммы двух бесконечно малых, вторая – в виде произведения, третья и четвёртая последовательности есть произведения соответствующих ограниченных величин

1 n 1

1,

sin n

1 на бесконечную малую

1

.

n

Укажем ещё в этом пункте на важную связь между бесконечно

большой и бесконечно малой величинами.

Теорема 4. Если

xn – бесконечно большая

xn

0 , то последова-

тельность

1

– бесконечно

малая;

если

n –

бесконечно малая

xn

0 , то

1

– бесконечно большая последовательность.

n

Доказательство. Пусть xn

– бесконечно большая последователь-

ность. Возьмём произвольное

0 и положим

1

. Согласно опреде-

лению 2 пункта 2.3 для этого

найдётся такой номер

, что для n N

будет выполняться неравенство

xn

E . Отсюда получаем, что

1

,

xn

E

т.е.

1

для всех n

N . А это и значит, что последовательность

1

xn

есть бесконечно малая. Аналогичное доказательство второго утверждения

теоремы предоставляется читателю.

Уже установлено,

что последовательности

с общими

членами

1

sin n

являются

бесконечно

малыми. Следовательно,

согласно

n ,

n2 ,

n

данной

теореме n ,

n2 ,

n

есть

бесконечно

большие

sin n

последовательности.

Материал: 5691

Смотрите также: