Документ: 5691, страницы 56-60 | База учебных материалов

Материал: 5691

Смотрите также:

56

При установлении существования и величины предела часто полезна так называемая теорема о пределе промежуточной или сжатой переменной.

Теорема 14. Пусть для трёх последовательностей выполняются неравенства

xn	n	yn
для всех n , причём последовательности		xn	, yn имеют общий предел
a :
lim xn	lim yn		a .

Тогда последовательность n имеет тот же предел:

	lim	n	a .
		n
Доказательство. Из определения предела следует: для любого								0
найдутся свои номера N1, N2 такие, что будут выполняться неравенства
(для n	N1 ) a		xn		a	,

(для n	N2 ) a			yn	a		.
Пусть N max N1, N2 ;	тогда для n			N будут выполняться оба эти

неравенства. Используя подчёркнутые их части, а также исходные неравенства для трёх последовательностей, данные о теореме, получим следующее:

(для n

N )

a

xn

n yn

a

.

Таким образом, для

0

n

N : a

n

a

.

Последнее означает, что lim

n

a . Теорема доказана.

Поясним теорему простым примером. Так как

1

sin n

1

n2

и

lim

1

0,

то и

lim

sin n

0.

n2

lim n2

n2

3.8. Пределы монотонных последовательностей

Здесь будут рассмотрены основные теоремы о сходимости монотонных последовательностей. Они важны для теории, так как связаны с важным свойством непрерывности (полноты) множества действительных чисел R . Эти теоремы используются и при нахождении пределов.

57

Теорема 15. Если неубывающая последовательность xn ограниче-

на сверху, то она сходится.

Доказательство. Так как последовательность ограничена сверху, то

множество	xn	её значений имеет конечную точную верхнюю границу:
sup xn	a (см. гл. 1). Докажем, что это число a и будет пределом по-
следовательности		xn .

Действительно, напомним характерные свойства точной верхней грани-


цы (см. определение 8 из гл.1):
1)	n : N xn		a ,
2)	0 xN		xn : xN		a	.
Тогда из 1) имеем, что xn				a	a	для всех n . Поскольку		xn – не-
убывающая последовательность (при n						N будет xn xN ),		то, учиты-
вая 2), для таких номеров				n	N и подавно будет выполняться неравен-
ство xn	a	. Таким образом, при любом					0 при n N имеют ме-

сто неравенства
a	xn a	.
Это и означает, что lim xn	a .

Конечно, теорема 15 верна и для строго возрастающей ограниченной сверху последовательности.

Теорема 16. Монотонные убывающие (строго убывающие, невозрастающие) последовательности, ограниченные снизу, сходятся.

Доказательство рекомендуется провести самостоятельно, т.к. оно аналогично доказательству теоремы 15. Отметим только, что в этой ситуа-

ции lim xn	inf xn .
Неубывающие и строго возрастающие последовательности, ограни-
ченные сверху,		будут	ограниченными.	Например,		неубывающая
x1 x2	... xn	... ,	ограниченная сверху	xn	M n , будет огра-
ниченной, т.к. для всех n выполняются неравенства x1					xn	M (см. 2.1).

Невозрастающие и строго убывающие (см. определение 8 из гл.2), ограниченные снизу (см. определение 4 из гл.2), также будут ограниченными.

Тогда теоремы 15 и 16 можно сформулировать так: монотонная ограниченная последовательность сходится. Немонотонные последова-

тельности этим свойством не обладают. Например, немонотонная последовательность xn 1 n 1 ограничена, но не сходится (см. пункты 3.1 и

3.4).

Таким образом, ограниченность монотонной последовательности является достаточным условием её сходимости. Это же условие является и

58

необходимым условием сходимости монотонной последовательности. Действительно, по теореме 7 всякая сходящаяся последовательность (в частности, монотонная) ограничена.

Следовательно, имеется критерий (необходимое и достаточное условие) сходимости (наличия конечного предела) монотонной последовательности.

Отметим, что сходящаяся последовательность может и не быть мо-

нотонной. Например, последовательность с общим членом xn

( 1)n 1

n

сходится ( lim xn 0 , см. пункт 3.3), однако не является монотонной, т.к.

знаки членов этой последовательности чередуются.

Критерий сходимости произвольных последовательностей будет рассмотрен в следующем пункте.

Поясним на примере, как применять теоремы этого пункта при нахождении предела. Для этого сразу отметим, что эти теоремы можно применять и для ситуаций, когда последовательность становится монотонной только начиная с некоторого члена. Это возможно потому, что ни существование, ни значение предела последовательности не зависят от любого конечного числа её первоначальных членов.

Докажем, что последовательность с общим членом

	cn
xn		(c 0, n! 1 2 3 ... n)

	n!

является бесконечно малой (при C 1 выражение c n представляет собой

n!

неопределённость вида ).

Сначала установим существование конечного предела. Так как

xn 1	cn	1	c		cn	c	xn ,
	(n	1)!	n	1 n!		n 1

то при n 1 C (т.е. при n – C			1) последовательность становится мо-

нотонно убывающей. Кроме того, она ограничена снизу (например, нулём). Следовательно, по теореме 16 она имеет конечный предел, который обозначим через a lim xn a .

Теперь, опираясь на существование предела, найдём и его значение.

59

лу, получим на основании теоремы 11 и того, что lim				c	0, следую-

				n 1
щее: a 0 a . Тогда a 0 и, следовательно,
		cn
	lim		0.
	lim		0.
		n!
Заметим, что легко установить следующие утверждения:
1) если возрастающая последовательность не ограничена сверху,						то
lim xn	;
2) если убывающая последовательность не ограничена					снизу,	то
lim xn	.

3.9. Принцип стягивающихся отрезков

Пусть имеется последовательность an , bn отрезков, каждый последующий из которых содержится в предыдущем:

a1, b1	a2 , b2	...	an ,	bn	... .	(3.12)
Тогда говорят, что имеется система вложенных отрезков. Такую си-
стему отрезков называют стягивающейся, если длины bn						an этих про-
межутков стремятся к нулю		lim bn	an	0 .
Теорема 17. Для всякой стягивающейся системы вложенных отрез-
ков существует единственная точка C , принадлежащая всем отрезкам этой

системы, причём lim an lim bn

C (рис. 12).

Доказательство. Очевидно, что левые концы системы отрезков (3.12)

образуют неубывающую последовательность

a1

a2

...

an ...,

а правые концы – невозрастающую последовательность

b1

b2

...

bn ....

с

аn

bn

а3

b1

b2

а2

b3

а1

Рис. 12

При этом an ограничена сверху an

bn n , а bn ограничена снизу

				60
bn a1	n . На основании пункта 3.8 эти последовательности имеют
пределы.	Пусть		lim an	c1 , а lim bn	c2 . По условию дано, что
lim( an	bn )	0 . Тогда 0		lim(an bn )	lim bn lim an c2	c1 и,
следовательно, c2			c1 . Общее значение c1		и c2 обозначим через c . При
всех n an		c (см. доказательство теоремы 15); аналогично bn				c при

всех n . Таким образом, точка с принадлежит всем отрезам системы (3.12). Остаётся показать, что точка c является единственной. Допустим противное. Пусть существует ещё одна точка d , отличная от c , также принадлежащая всем отрезкам системы (3.12). Тогда для любого n должно

выполняться неравенство			d c		bn	an . Перейдём в этом неравенстве
к пределу. Учитывая, что					d c	есть	постоянное		число и

lim(an ,		bn ) 0 , на основании (3.11)							0 . Тогда
						будем	иметь	d c
	d c	0 и, следовательно, d		c .

В условии теоремы существенно, что рассматриваются именно отрезки. Она становится неверной для интервалов и полуотрезков. Например, система вложенных стягивающихся интервалов

(0, 1), 0, 12 , 0, 13 ,..., 0, 1n ,...

не имеет общей точки. Если бы вместо этих интервалов взяли соответствующие отрезки

0, 1 , 0, 12 , 0, 13 ,..., 0, 1n ,...,

то точка x 0 была бы для них общей.

3.10.Число Эйлера е

Вэтом пункте используем предельный переход для определения числа, которое играет исключительную роль как в самом математическом

анализе, так и в его приложениях. Это иррациональное число по предложению Л. Эйлера принято обозначать буквой e. Часто это число и назы-

вают числом Эйлера. Это число, как и иррациональное число		, является
важнейшей фундаментальной постоянной математического анализа.
Предварительно докажем полезное неравенство
1 h n	1 nh ,	(3.13)

называемое неравенством Бернулли. Это неравенство справедливо для всех

Так как lim xn a , то и lim xn 1 a (

отличается от xn

только первым членом). Переходя в равенстве