Документ: 5691, страницы 46-50 | База учебных материалов

46

3.4. Основные свойства сходящихся последовательностей

Рассмотрим сначала связь сходящихся последовательностей с бесконечно малыми.

Теорема 5. Последовательность xn сходится (имеет пределом ко-

нечное число a ) тогда и только тогда, когда её общий член можно представить в виде

xn

a

n ,

(3.7)

где

n

– бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть lim xn

a . Введём обозначение

n

xn

a .

С помощью логических символов lim xn

a записывается так:

lim xn

a

0

N

n N :

xn

a

n

.

Это означает, что lim

n

0; кроме того, из введённого обозначения сле-

дует (3.7).

Обратно, пусть любой элемент последовательности

xn

имеет вид

(3.7) и lim

n

0. Так как lim

n

0, то

0

N

n

N :

n

xn

a

.

А это означает, что lim xn

a .

Теорему 5 можно сформулировать иначе: для того чтобы переменная

величина xn

имела своим пределом конечное число a , необходимо и до-

статочно,

чтобы разность

n

xn

a между ними была бесконечно ма-

лой.

Представление (3.7) будет использоваться в дальнейшем. Кроме то-

го, оно позволяет вычислять пределы. Например,

xn

5n

sin n

пред-

n

ставляется в виде xn 5

sin n

, где

n

sin n

есть бесконечно малая

n

величина (см. пункт 3.3); следовательно lim xn 5 .

Теорема 6 (об единственности предела). Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

47

Доказательство.

Пусть

lim xn

a ,

lim xn b .

Из

определения

предела вытекает: при любом

0 существуют такие номера

1, 2 ,

что

xn

a

при

n

1,

xn

b

при

n

2.

2

Тогда для n

N

Возьмём

max

1,

2 .

(например,

для номера

1) выполняются оба неравенства

xN 1

a

и

xN 1

b

.

Следовательно,

2

a b

a xN 1

xN 1

b

a xN 1

xN 1

b

.

2

b

Получилось, что неотрицательное число

a

меньше любого положи-

тельного числа

a

b

. Такому неравенству удовлетворяет только

b

0. Таким образом, a b .

число нуль, т.е.

a

Предлагаем читателю провести геометрическое доказательство тео-

ремы 6 (предположить a

b и воспользоваться понятием

-окрестности

точки на оси Ox ).

Теорема 7. Сходящаяся последовательность ограничена. Доказательство. С помощью логических символов теорема записы-

вается так:
lim xn a	m xn M	n	.

Из геометрической интерпретации предела (см. пункт 3.1) следует: какое


бы ни взять	0 , найдётся такой номер , что члены последовательно-
сти xN 1, xN	2 ,... будут принадлежать интервалу a			, a	, т.е. уже
будут заключены между границами a		и a	. Вне этих границ могут
оказаться лишь некоторые из первых		значений x1,..., xN . Так как чис-

ло этих значений конечно, и каждое из них характеризуется вполне определённой точкой на координатной прямой Ox , то можно указать такие но-

вые границы	m и	M , между которыми находятся уже все члены xn
xn m, M	. Например, за эти границы можно взять
		m	min a	, x1,..., xN ,
		M	max a	, x1,..., xN .
Из теоремы вытекает, что сходящаяся последовательность не может
стремиться ни к		, на к	. Это замечание дополняет теорему об
единственности предела.

48

Ограниченность последовательности является необходимым условием её сходимости. Но это условие не является достаточным. Ограниченные последовательности могут как сходиться, так и расходиться. Примером ограниченной расходящейся последовательности является последователь-

ность с общим членом xn 1 n 1. Последовательность ограничена

1 n 1

1 , но в пункте 3.1 доказано, что она расходится.

3.5. Предел суммы, произведения, частного и степенно-показательного выражения

Следующие теоремы, как и теоремы пункта 3.3, значительно облегчают вычисление пределов в том смысле, что с их помощью во многих случаях становится ненужным обращение к определению предела.

Теорема 8. Если последовательности

xn

и

yn сходятся

(lim xn

a ,

lim yn

b) , то справедливы следующие утверждения:

1)

(lim xn

yn

a

b

lim xn

lim yn ,

т.е. предел суммы су-

ществует и равен сумме пределов;

2)

(lim xn

yn

a

b

lim xn lim yn ,

т.е. предел произведения

существует и равен произведению пределов.

Доказательство. При доказательстве первого утверждения можно

воспользоваться определением предела и неравенством

xn

yn

a b

xn a

yn

b

xn a

yn b

.

Дальнейшие рассуждения предоставляем читателю.

Теперь при доказательстве этих свойств будем опираться на представление (3.7) и свойства бесконечно малых последовательностей.

Из условия теоремы и представления (3.7) имеем:

xn

a

n ,

yn

b

n ,

где

n

и

n

– бесконечно малые последовательности. Следовательно,

xn

yn

a

b

n

,

(3.8)

xn

yn

a

b

n

a b

a

n b n

n n . (3.9)

По теореме 1 последовательность

n

есть бесконечно малая. То-

гда из представления (3.8) и теоремы 5 следует первое утверждение этой теоремы. Согласно следствию 3 a n и b n есть бесконечно малые,

согласно теореме 2	n	n	есть бесконечно малая величина; тогда после-

49

довательность a n b n n n по следствию 1 бесконечно мала.

Тогда из представлении (3.9) и теоремы 5 вытекает второе утверждение данной теоремы.

Сделаем важные замечания к теореме 8.

Первое утверждение теоремы переносится на случай любого конечного числа слагаемых. Доказательство можно привести на основании теоремы 5 и следствия 1.

В первом утверждении можно рассматривать алгебраическую разность; тогда lim xn yn a b , т.е. предел разности равен разности

пределов.

Второе утверждение теоремы распространяется на случай любого конечного числа сомножителей и доказывается, например, методом математической индукции.

Отметим ещё следующие два правила, часто применяемые при вычислении пределов и являющиеся следствиями теоремы 8. Если C – по-

стоянное число и lim xn	a , то
lim	xn C	lim xn	C	a C ,
lim C xn		C lim	xn	C а .

Второе правило формулируется так: постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Приведём без доказательства ещё две применяемые при вычислении пределов теоремы (о пределе частного и о пределе степенно-показательно- го выражения).

Теорема 9. Пусть lim xn		a ,		lim yn b , причём предел yn от-
личен от нуля b 0 . Тогда
lim	xn		a		lim xn	,
	yn		b		lim yn

т.е. предел частного двух последовательностей равен частному их пределов, если предел знаменателя отличен от нуля.

Теорема 10. Если lim xn a , lim yn b , причём a и b не равны

одновременно нулю, то

lim xn yn ab .

Поясним, как действуют теоремы этого пункта на примере двух последовательностей, заданных следующими общими членами:

x		3n	2	,	y		2n2	1	.
	n					n
		n					n2

Прежде всего отметим, что эти последовательности представляются

								50
так:
	x		3			2	,			y		2		1	.
	x		3				,			y	n	2			.
	n					n					n			n2
						n								n2
В пункте 3.3 отмечено, что				2		и		1			бесконечно малые. Тогда из тео-

				n					n	2
				n						2

ремы 5 следует, что
		lim xn						3, lim yn					2 .
Из теорем 8 – 10 вытекают следующие результаты:
lim xn	yn	3 2			5 ,					lim xn				yn 3 2 1,
lim xn	yn	3 2			6 ,					lim		xn	3		,
lim xn	yn	3 2			6 ,					lim		yn	2		,
													2

			lim xn yn								32		9.

3.6.Особые случаи и неопределённые выражения

Впредыдущем пункте указаны (при определённых условиях) способы нахождения пределов последовательностей

x	n	y	n	, x	n	y	n	,	xn	, x	yn .

										n
									yn

Рассмотрим теперь отдельные возможные случаи вычисления пределов, к которым не применимы указанные способы. Сведения по этим особым случаям оформим в виде таблиц. В них будут приведены данные о

пределах xn , yn и ответы по пределам их суммы, произведения, частного и степенно-показательного выражения. В случае, если результат бу-

дет записан символами (например,	0	,	), то выражение, о пределе кото-
	0

рого ведётся речь, представляет собой неопределённость соответствующе-

го вида ( 00 и т.д.). Про неопределённые выражения будем говорить после

приведения таблиц. Если в таблице ответ указан, то читатель должен самостоятельно разобраться, почему он таков.

Материал: 5691

Смотрите также: