Документ: 5691, страницы 66-70 | База учебных материалов

66

S lim Sn

lim

a(1

qn )

a

lim (1 qn )

a

lim 1 lim qn

a

(1 0)

a

1

q

1

q

1

q

1

q

1 q

(здесь учтено замечание начала этого пункта и применены теоремы данной главы).

Следовательно, сумма бесконечной геометрической прогрессии со зна-

менателем q , удовлетворяющим условию q 1, вычисляется по формуле

S	a	.

1	q

Теперь обратимся к описанию непрерывных процессов в экономике. Здесь рассмотрим так называемое непрерывное начисление процентов. В главе 2 выведены формулы для наращённых сумм, когда проценты

начисляются один раз за период, к которому относится процентная ставка r . В практике применяется и многократное начисление процентных денег.

Предположим, что номинальная ставка за один период (скажем, год) равна r , а начисление процентных денег производится m раз за период при первоначальной сумме S денежных единиц. При многократном начислении сложных процентов наращённая сумма через n периодов составит величину

		r	m n	(3.19)
Sm	(n) 1		S
Sm	(n) 1	m	S
		m

(сравните с соответствующей формулой сложных процентов из гл. 2). Если бы начисление процентов производилось не дискретно, а

непрерывно, то m должно бы неограниченно возрастать. Следовательно, в

равенстве (3.19) нужно перейти к пределу при m										и фиксированном
n :
			S (n)	lim Sm (n).
				m
							m	r
			m				m
		r			r
Так как lim							r		er , то из (3.19) следует, что
	1		lim	1

		m			m
m		m	m		m
			S (n)			ern S .

Это и есть формула наращённой суммы через n периодов при непрерывном начислении процентов.

3.12. Определение и основные свойства подпоследовательностей

Пусть задана числовая последовательность

67

x1, x2 ,..., xn ,...

(3.20)

Из её членов образуем частичную последовательность следующим образом: в качестве первого члена новой последовательности выберем

член исходной последовательности с номером n1, в качестве второго члена новой последовательности – член исходной с номером n2 n1, и т.д. В результате получим новую последовательность

xn , xn

2

,..., xn

k

,...

(3.21)

1

называемую подпоследовательностью

по отношению к исходной после-

довательности (3.20). Таким образом,

подпоследовательность хn

со-

к

стоит из членов (3.20)

таких, что

nk

k и

nk

1

nk для всех k

.

В частности, последовательность

(3.21) может и совпадать с после-

довательностью (3.20); в этом случае

xn

k

xk ,

k

. Следовательно,

сама последовательность

хn

может рассматриваться как подпоследова-

тельность.

Пример 1.

Из последовательности

xn

1 n

можно выбрать

подпоследовательность с чётными номерами n :

x2 1,

x4 1, x2k

1,

,

или только с нечётными номерами

n :

x1

1,

x3

1, x2k 1

1, .

Из определения

следует справедливость следующих свойств подпо-

следовательностей.

Свойство 1. Если последовательность ограничена, то и любая её

подпоследовательность также ограничена.

Свойство 2.

Если

последовательность xn сходится и имеет сво-

им пределом число a , то и каждая подпоследовательность этой последовательности сходится и имеет своим пределом число a .

В самом деле, так как						lim	xn	a ,	то для		0 можно указать
						n
номер	N	N		такой, что		при	k	N	выполняется неравенство
\| xk	a \|	.	Пусть		xn	– некоторая подпоследовательность xn . Так
					k
как nk		k	N	то,	начиная с номера nk ,				все элементы подпоследова-
тельности		также удовлетворяют неравенству							\| xnk	a \|	, что означа-
ет, что	lim xn			a .
	k		k
	k
Свойство 3. Если все подпоследовательности данной последователь-
ности	xn	сходятся, то пределы всех этих подпоследовательностей равны

68

одному и тому же числу a ; к этому же пределу сходится и сама исходная последовательность xn .

Действительно, так как xn также является подпоследовательно-

стью, то она сходится и имеет пределом некоторое число a . Но тогда и любая другая подпоследовательность также сходится и имеет тот же предел a .

Замечание. В примере 1 рассмотрен случай, когда последователь-

ность	x	(	1)n	не имеет предела, но две её подпоследовательности
x2k	1	и	x2k	1	1 имеют пределы. Возникает естественный во-

прос: «из любой ли последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность?» Ответ на этот вопрос, вообще говоря, отрицатель-

ный. Например, из последовательности xn 2n нельзя выбрать схо-

дящуюся подпоследовательность. Заметим, что эта последовательность неограниченная. Если же последовательность будет ограниченной, то положительный ответ на вопрос даёт следующая теорема, которая играет важную роль во многих исследованиях.

Теорема 18 (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к конечному пределу подпоследовательность.


Доказательство. Пусть последовательность			xn	ограничена. Тогда
существуют числа a и b , a	b такие, что a		xn	b для всех n	.
Возьмём отрезок [a, b]	и поделим его пополам точкой d . Тогда по
крайней мере один из отрезков [a, d ]		или [d,b] содержит бесконечное
число членов последовательности xn		. Возьмём тот из них, который со-

держит бесконечное число членов последовательности и обозначим его [a1,b1]. Поделим отрезок [a1,b1] пополам точкой d1. Тогда по крайней мере один из отрезков [a1, d1] или [d1,b1]содержит бесконечное число

членов последовательности	xn .
Далее, выберем тот из них, который содержит бесконечное число
членов последовательности	xn и обозначим его через [a2 , d2 ]. Про-

должая этот процесс до бесконечности, получим последовательность вложенных отрезков

[a, b]	[a0 , b0 ], [a1, b1], [a2 , b2 ], ,[ak , bk ],
Очевидно,	что длина отрезка ak ; bk	b	a	и lim	b a	0.
		2k			2k
				k

Согласно теореме 17 о вложенных стягивающихся отрезках существует единственная точка c принадлежащая всем отрезкам, к тому же

	69
lim ak	c и lim bk c . Выберем теперь в каждом из отрезков
k	k

[ak , bk ] по одному члену из последовательности xn , который обозначим xnk . Это всегда можно сделать, так как любой из отрезков [ak , bk ] со-

держит бесконечное число элементов последовательности xn . При этом

элементы	xn	, k	,	мы	можем		выбрать так,		чтобы неравенства
	k
nk nk 1	выполнялись для всех					k	.	В результате полученная после-
довательность		xn	обладает следующими свойствами
		k
		ak	xnk	bk	и	lim	ak	lim bk	c ,
						k		k

применяя теорему 14 о промежуточной последовательности заключаем, что

и	lim xn		c , что и требовалось доказать.
	k	k
	k

3.13. Критерий Коши

Теорему Больцано-Вейерштрасса далее будем применять при доказательстве критерия Коши сходимости числовой последовательности. Этот критерий указывает внутренний свойства последовательности, обеспечивающие её сходимость или расходимость. Ценность критерия Коши заключается ещё и в том, что в отличие от введённого ранее определения сходимости числовой последовательности, не требуется знание численного значения её предела.

Определение 1.

Последовательность

xn

называется

фундамен-

тальной, если для каждого малого числа

0существует такой номер

N

,

что для всех номеров

n N

и

любых m

выполня-

ется неравенство

.

х n m

x n

0 N N : n N и m N

хn m

xn

.

Данное определение эквивалентно следующему.

Определение 2.

Последовательность

xn

называется

фундамен-

тальной,

если для

0 существует номер

N N ,

что для

n

N

и

m

выполняется неравенство

хn

xm

.

Теорема 4.2 (Коши). Для того чтобы последовательность

xn

имела

конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундамен-

70

тальной.

Доказательство (необходимость). Пусть последовательность (3.20)

сходится и

lim

xn

a . Тогда для любого

0

найдётся номер

, за-

n

висящий от

такой, что

xn

a

для любых номеров n

N .

2

Тогда при всех m

1, 2,... выполняется

хn m xn

xn m

a a xn

xn m

a

xn

a

.

2

(Достаточность). Зафиксируем

малое

0 . По определению 1

найдётся номер

N

такой, что при любых номерах n

N

не-

равенство

хn m

xn

верно

для всех

m

1, 2,....

Положим

1

1, тогда

xl

m

xl

для всех m

1, 2,...

т.е. последовательность

xn

ограничена.

В силу

теоремы Больцано-

Вейерштрасса существует подпоследовательность

xn m , которая сходит-

ся к некоторому

a

xl

,

xl

. Покажем, что и сама последова-

тельность

xn

сходится к этому пределу a . С этой целью выберем k

настолько

большим,

чтобы

xnk

c

и

nk

. Тогда, при

n

, получаем

xn

a

xn

a

xn

a

2 .

k

Пример. Используя критерий Коши, покажем, что числовая последо-

вательность

xn

sin 1

sin 2

...

sin n

сходится.

21

22

2n

Действительно,

xn

m

xn

sin(n

1)

sin(n

2)

...

sin(n

m)

2n

1

2n

2

2n

m

1

...

1

...

1

2

n 1

2

n 2

2

n m

2

n

2

m

Материал: 5691

Смотрите также: