Материал: 5691

1

1

1

1

1

1

2m

1 2

2

2m

1

2

1

1

1

1

.

2

n

1

1

2

n

1

2

n

2

m

2

n

2

2

Поскольку lim

1

0,

то для

0

N N:

n N

2n

n

1

, откуда

следует,

что

n N ,

m

влечёт

2n

1)

lim

(

1)n

1

0;

2)

lim

1

2

2;

n

n

3)

lim

n

1;

4) lim

5n

5;

n

1

n

1

5)

lim

(

1)n

1

0;

6) lim

n

1

1

;

2

n

3n

3

lim qn

1.

7)

0 при

q

2.

Докажите, что последовательность xn

,

заданная общим членом

xn

1

1 n

1 предела не имеет.

3.

Пусть

lim xn

a . Найдите следующие

пределы:

lim xn 1,

lim xn 1.

4. Выясните, для каких последовательностей число

в определении

конечного предела можно взять независящим от .

5. Докажите, что в определении 1 (см. также его символическую за-

пись)

условие существует натуральное число N (

N

N ( )

N)

можно

заменить на условие существует положительное

действительное

число

6.

Докажите,

что

в определении 1 можно выполнить следующие

элементы

1)

условие n

N заменить на n N ;

a

xn a

2)

условие

xn

заменить на

;

3)

выполнить обе предыдущие замены.

1)

lim n2

;

2)

lim

1 n 1 n2

.

Укажите

при

10 000.

n

1

2) xn

1

( 1)n 1

1) xn

;

;

n

2

n

3) xn

1 n

;

4) xn

1

;

n

n

3

5) xn

(

1)n 1

;

6) xn

(

1)n 1

;

n3

n4

7) xn

1

;

8) xn

( 1)n 1

.

n!

n!

13. Доказать утверждение: если все члены бесконечно малой

по-

следовательности

n равны одному и тому же числу a , то a

0 .

1)

x

1

1

;

2) x

5

1

;

n

n

2

n

n

3)

x

n

2

;

4) x

2n2

1

.

n

n

n

n

2

16. Пусть lim xn

2, lim yn

3. Найти

1)

lim xn

yn ;

2) lim xn

yn ;

3) lim xn yn ;

4)

lim

xn

;

5) lim xn yn .

yn

17. Найти пределы последовательностей (с xn ) ,

(cxn ) ,

xn

, где

c

c – постоянное число и lim xn a .

18. Найти lim( xn

xn ) , если lim xn

a .

19. Найти lim

xn

1

, если lim xn

a 0 .

xn

20. На основании теорем о пределе суммы, произведения, частного и

степенно-показательного выражения найти следующие пределы:

1) lim

1

sin n

;

2) lim

n2

1

n4

2

;

n

n

n

2

n

4

3) lim 2

1

3

1

;

4) lim

n2

1

n4

2

;

n

n

2

n

2

n

4

2

1

3

1

n2

5) lim

n

;

6) lim

;

3

1

6

1

n2

n2

1

2n

1

2n

7) lim

3

1

n

;

8) lim

1 n

.

n

n

21. Найти пределы следующих последовательностей:

1) xn

2n ;

2) xn

1

n

;

2

1

n

n

2

n2

3) xn

1

;

4) xn

.

n

2n

22. Привести примеры последовательностей

xn ,

yn , чтобы пре-

дел частного

xn

при неопределённости вида

в зависимости от зако-

yn

нов последовательностей мог уметь различные значения

0, c

0,

или

даже вовсе не существовать.

23. Привести примеры последовательностей

xn ,

yn , чтобы пре-

дел произведения

xn yn при неопределённости вида

0

мог иметь

различные значении или даже не существовать.

24. В следующих случаях указать вид неопределённости и раскрыть

её:

1) lim

2

n

;

2) lim

a1n

a2

;

2n

1

b1n b2

2n2

1

a n2

a

n

a

3) lim

;

4) lim

1

2

3

;

4n2

5

b n2

b n

b

1

2

3

5) lim

n

;

6) lim

a1n a2

;

n2

1

b n2

b n

b

1

2

3