Документ: 5691, страницы 76-80 | База учебных материалов

Материал: 5691

Смотрите также:

76

25. Доказать, что lim n ln 1	1	1(воспользоваться свойством

	n
	n

логарифмов и переставить местами знаки предела и логарифма).

26. Пусть	lim xn	a	и	для	всех n справедливо неравенство
xn b . Справедливо ли неравенство a					b ?
27. Пусть lim xn		a и для всех n справедливо неравенство xn b .
Справедливо ли	неравенство		a	b ? Если нет, то поясните примером.
Справедливо ли неравенство a				b ?
28. Пусть lim xn		a и a		b . Можно ли сказать, что выполняется
неравенство xn	b , начиная с некоторого номера? Можно ли сказать, что
неравенство xn	b выполняется для всех n ?

29.Может ли положительная последовательность иметь отрицательный предел, а отрицательная последовательность – положительный предел? Могут ли такие последовательности иметь пределом число нуль?

30.Приведите пример, когда при предельном переходе соблюдается строгое неравенство.

31.	Пусть a		n		yn для всех значений n и lim yn					a . Какой
предел имеет последовательность							n ?
32.	Пусть для всех				n выполняются неравенства 0					n yn и
lim yn	0 . Существует ли lim					n ? Если этот предел существует, то че-
му он равен?
33.	Если для всех n выполняются неравенства a								n	b и суще-
									n
ствует конечный			предел		n ,	то	будут ли справедливы			неравенства
a lim	n	b ? Может ли предел					n	не существовать, если выполне-
	n						n
ны неравенства a			lim	n	b ?
				n

			77
34.	Используя очевидные неравенства

			1 1		1	1		1	,
			1 1		n	1		n	,
					n			n

докажите, что lim 1		1	1.

		n
		n
35.	На основании неравенств 0			1			2		найдите lim	n	.
				2n			n2			2n

36.Является ли монотонность последовательности необходимым условием её сходимости?

37.Приведите пример сходящейся немонотонной последовательности.

38. Последовательность xn задана следующим рекуррентным соотношением:

xn

1

2 xn ,

x1

2.

Доказать, что lim xn

2.

Указание. Докажите существование предела на основании монотон-

ности и ограниченности; потом равенство

xn 1

2 xn возведите в

квадрат и перейдите в новом равенстве к пределу.

39. На основании теоремы о пределе монотонной последовательно-

сти найдите пределы:

n

an

1) xn

;

2) xn

(a 0).

n

2

n!

Указание. Выразите xn 1

через xn ;

значение предела найдётся по-

сле предельного перехода в этом равенстве (предварительно надо доказать существование предела).

40.Приведите пример вложенной системы отрезков.

41.Является ли всякая вложенная система отрезков стягивающейся?

Выяснить, является ли эта система отрезков вложенной и стягивающейся.

78

43. Найдите общую точку систем отрезков, заданных следующими

последовательностями:
1) 0,		1		;	2)		n	, 1 ;	3) 1,	n 1	.
	2	n	1			n	1			n
	2

44.Составить последовательность отрезков, стягивающуюся к какойнибудь заранее выбранной точке c .

45.Имеется исходный отрезок a1,b1 . В качестве последующих

членов последовательности an , bn будут выбираться левые половины

предыдущих отрезков, разделённых пополам. Выяснить, к какой точке будет стягиваться полученная система отрезков. Решите такую же задачу при условии, что будут выбираться правые половины отрезков, каждый раз делящихся пополам.

46.Приведите примеры стягивающихся систем интервалов и полуотрезков, не имеющих общей точки.

47.Найдите системы следующих бесконечных геометрических прогрессий:

1) 1,	1	,	1	,...,		1		,...;	2) a 5, q	1	.
	2		4		2	n	1			4

48.Дайте геометрическую интерпретацию определения фундаментальной последовательности.

49.Пользуясь правилом построения отрицаний, сформулируйте определение нефундаментальной последовательности.

50.Докажите эквивалентность двух определений фундаментальных после довательностей.

51. Используя критерий Коши, докажите сходимость числовых последовательностей:


1)	xn	1	1				1			1	;
			22		32					n2

2)	xn	1		1		1		1	.
			2!		3!
								n!

79

Глава 4. Арифметическое n -мерное пространство

4.1.Определение n -мерного координатного пространства

Вматематическом анализе любую систему из n действительных (вещественных) чисел x1,..., xi ,..., xn называют n -мерной точкой и обозна-

чают M x1,..., xi ,..., xn . Число xi i 1,..., n называется i-й координатой этой точки.

Множество всех n -мерных точек M x1,..., xn называется арифме-

тическим n -мерным координатным пространством и обычно обознача-

ется R n .

Эта терминология введена по образцу геометрической терминологии одномерного, двумерного и трёхмерного пространств. Очевидно, что координатная прямая Ox (см. главу 1) является одномерным пространством

R1. Каждая точка M этого пространства определяется одним действительным числом x – координатой этой точки. Обратимся к двумерному случаю. Пусть на плоскости введена декартова система координат Ox1x2 . Тогда каждая точка плоскости имеет две координаты, при этом для любой пары x1, x2 действительных чисел существует одна и только одна точка M , соответствующие ординаты которой равны этим числам. Таким обра-

зом, плоскость совпадает с двумерным пространством R 2 .

Из аналитической геометрии известно понятие расстояния между двумя точками. Если M x и P y – две точки координатной прямой, то

расстояние

M , P между ними вычисляется по формуле

(М , Р)

у х

( у х)2 .

Расстояние же между двумя точками

M x1, x2

и

P y1, y2 на

плоскости вычисляется по формуле

(М , Р)

( у х )2

( у

2

х )2 .

1

2

По

аналогии

вводится

расстояние

(М , Р)

между

точками

M x ,..., x ,..., x

n

и P y ,..., y

i

,..., y

n

из R n по формуле

1

i

1

(М , Р)

( у

х )2 ...

( у

i

x )2

... ( y

n

x

n

)2

,

(4.1)

1

i

в краткой записи

n

x )2 .

(М , Р)

( y

i

1

			80
	Введённое число	имеет следующие свойства:
1)	для любых M и P	M , P	P, M (симметрия расстояния);
2)	для любых M и P	M , P	0, причём M , P	0 M P;
3)	для любых трёх точек M , P и L
	M , L	M , P	P, L	(4.2)

(неравенство треугольника).

Справедливость первых двух свойств очевидна. Перейдём к доказательству неравенства треугольника.

Из известного неравенства Коши-Буняковского для сумм

n

a b

a

2

b2

i i

i

i 1

i

1

i

1

следует неравенство

n

a

i

b

2

a2

b2

,

i

1

i

1

i

1

справедливое для любых наборов вещественных чисел ai

и bi

i

1,..., n .

Положим

в

последнем неравенстве

ai

yn

xn ,

bi

zn

yn

(тогда

ai

bi

zi

xi ), где xi – координаты точки M , yi

– координаты точки

P ,

zi – координаты точки L . Тогда получим неравенство

n

x )2

n

x )2

n

)2 ,

(z

i

( y

i

(z

i

y

i

i 1

i

1

i

1

что в силу (4.1) и равносильно (4.2).

С введением расстояния множество n – мерных точек (координатное

пространство R n ) представляет собой так называемое метрическое пространство. Произвольно множество M , элементы M которого именуются точками, называется метрическим пространством, если имеется правило, по которому любым двум точкам M1 и M 2 из этого множества

ставится в соответствие некоторое действительное число

M1, M 2 ,

называемое расстоянием между этими точками. При этом введённое по этому правилу расстояние должно удовлетворять следующим условиям

(аксиомам метрического пространства):

1)	M1, M 2		M 2 , M1	для любых точек M1 и M 2 (аксиома
симметрии расстояния);
2)		M1, M 2	0 для любых точек M1		и M 2 , причём, если
M1, M 2		0, то точки M1 и M 2 совпадают;
3)		M1, M 3	M1, M 2	M 2 , M 3	для любых трёх точек

42. Выписать члены последовательности