Документ: 5691, страницы 26-30 | База учебных материалов

26

Рассмотрим

примеры

ограниченных

и

неограниченных

последовательностей.

1.

Последовательность

1

1,

1

,

1

,...,

1

,... ограничена, т.к.

n

2

3

n

xn [0, 1].

2.

Последовательность

1, 2,

3, 4,

5, ..., (

1)n n,... является

неограниченной, так как для любого C

0 найдутся члены этой последова-

C.

тельности, для которых будет выполняться неравенство

xn

3.

Последовательность с общим членом

xn

n2 является не-

ограниченной, но она ограничена снизу,

так как

n

выполняется не-

равенство xn 1 m

1 .

4.

Последовательность xn

n не ограничена снизу, но ограни-

чена сверху (например, M

1).

Определение 8. Последовательность

xn

называется

1)

строго возрастающей, если

n

: xn

1

xn ;

2)

строго убывающей, если

n

: xn 1

xn ;

3)

неубывающей, если

n

: xn

1

xn ;

4)

невозрастающей, если

n

: xn

1

xn .

Последовательность любого из четырёх определённых видов называется монотонной, при этом последовательности первых двух видов называют

строго монотонными, а двух других – монотонными в широком смысле.

Строго возрастающая последовательность есть частный случай неубывающей, а строго убывающая – невозрастающей.

Не всякая последовательность является монотонной. Например, по-

следовательность							1, 1,		1, 1,	1, ..., ( 1)n	1,... не является монотонной.
	Примером строго возрастающей последовательности является по-
следовательность							xn		n , а строго убывающей – xn				1	.

													n
	Последовательность 1, 1, 2, 2, ..., n, n, ... является неубывающей, а
1, 1,	1	,	1	, ...,	1	,	1	,...– невозрастающей.

2			2		n		n
	Для выяснения вида монотонности можно для всех n установить со-
ответствующее из следующих неравенств:
xn 1				xn		0, xn 1 xn				0 , xn 1	xn	0 , xn 1 xn 0 .

27

Поясним сказанное примером. Докажем, что последовательность с об-

щим членом x			n	строго возрастает. Очевидно, что x	n 1	n	1	. Тогда
	n					n	2

		n	1

xn 1

xn

n 1

n

(n 1)2

n(n 2)

1

.

n

2

n

1

(n

1)(n 2)

(n

1)(n

2)

Следовательно, для всех

n

1

xn

1

xn

0 или

xn

1

xn . По-

следовательность

xn

строго возрастает.

Монотонные последовательности ограничены либо снизу, либо сверху.

Именно: строго возрастающая последовательность x1

x2

...

xn

xn 1 ...

и неубывающая последовательность x1

x2

...

xn

1

... ограничены

снизу своим первым членом

x1 , а строго убывающая последовательность

x1

x2 ...

xn

1 ...

и

невозрастающая последовательность

x1

x2 ...

xn

1 ...

ограничены сверху своим первым членом x1.

Поэтому строго возрастающая и неубывающая последовательности будут ограниченными, если они окажутся ограниченными сверху; строго убывающая и невозрастающая последовательности будут ограниченными, если они окажутся ограниченными снизу.

Приведём простейшие приложения последовательностей в экономике. Рассмотрим задачи о получении дохода кредитором от предоставления заёмщику денег в долг (выдача кредита, помещение денег на счёт в банк и т.д.) на некоторый срок. За предоставление денег в долг в любой форме по оговоренной процентной ставке заёмщиком выплачиваются кредитору процентные деньги, означающие сумму прибыли кредитора и кратко называемые процентами. Выбранный промежуток времени, к которому приурочена процентная ставка, называется периодом начисления. Наращённая сумма состоит из пер-

воначальной суммы кредита и начисленных процентов к концу срока кредитования. Сам процесс увеличения первоначальной суммы в связи с присоединением процентов называют наращением. Процентная ставка может применяться к начальной сумме на протяжении всего срока кредитования (простая процентная ставка) или к сумме с начисленными в предыдущих периодах про-

центными деньгами (сложная процентная ставка).

Оцениваем наращение по простым процентным ставкам. Пусть S – первоначальная сумма кредита в условных денежных единицах, n – число пе-

риодов начисления, Sn – наращённая сумма (первоначальная сумма плюс начисленные проценты за n периодов). Обозначим через q(%) процентное

значение ставки за один период начисления. Тогда r		q	есть процент-

	100
	100

ная ставка за один период начисления.

28

При начислении простых процентов долг заёмщика за один период начисления увеличится на величину rS , и к концу второго периода ещё на rS , что составит величину 2rS . Ясно, что к концу срока кредитования долг заёмщика увеличится на nrS .

Таким образом, процесс изменения первоначальной суммы S за n периодов при начислении простых процентов описывается арифметической прогрессией с разностью rS :

1 r S, (1 2r)S,..., (1 nr)S.

Следовательно, при простой ставке (постоянной на протяжении всего срока кредитования) формула простых процентов

Sn (1 nr)S

даёт наращенную сумму за n периодов начисления. При этом проценты за весь срок кредитования составят величину

		Rn	nrS.
Множитель (1	nr) формулы простых процентов называется множи-
телем наращения простых процентов.
Так как число периодов может быть любым (n 1, 2,...) ,						то последние
равенства задают последовательности			Sn	и	Rn .
Отметим, что	члены	полученной		арифметической прогрессии Sn
удовлетворяют рекуррентному соотношению
	Sn 1	Sn rS, S1			(1 r)S .
Если на первое равенство смотреть как на уравнение,						то формула

простых процентов описывает решение этого уравнения (от рекуррентного способа задания наращенной суммы Sn перешли к явной формуле).

Поясним формулу простых процентов числовым примером. Пусть

банк выдал кредит в размере 50 млн руб.		на 3 года при простой ставке
8% годовых. Это значит, что S	50 млн руб., n		3, r	0,08 . Тогда
наращённая сумма (долг заёмщика)	S3 (1	3 0,08)	50	62 (млн руб.).
При этом процентные деньги составляют 12 млн руб.
Выведем формулу для расчёта наращенной суммы Sn				по сложным
процентам (при постоянной ставке за один период). Пусть S – первона-

чальная сумма, r – ставка процента за период и n – число периодов наращения. К концу первого периода проценты равны rS , а наращённая сумма

S1 Sn rS (1 r)S и совпадает с наращённой суммой за первый пе-

риод по простым процентам. Далее, согласно определению сложных процентов имеем рекуррентное соотношение

Sn 1 Sn rS или Sn 1 (1 r)S (n 1, 2,...) ,

29

величина S1 уже известна. Легко усмотреть явную формулу для решения

этого уравнения:

Sn 1 r n S ,

которая называется формулой сложных процентов при их дискретном начислении. Величину 1 r n называют множителем наращения сложных процентов. Последовательность (Sn ) , заданная формулой сложных процентов, есть геометрическая прогрессия со знаменателем 1 r и пер-

вым членом 1 r S .

Если банк выдаст кредит в 50 млн руб. на 3 года под 8% годовых по ставке сложных процентов, то к окончанию срока кредита долг заёмщика со-

ставит сумму S	3	1 0,08 3	50 62 985 600 руб. Процентные деньги
	3

составят 12 985 600 руб.

С помощью последовательностью можно описывать динамические процессы, т.е. процессы, развивающиеся во времени (время считается дискретным). В модулях с дискретным временем ось переменной t разбивается на последовательные равные периоды времени, а каждому периоду по

порядку приписывается номер n . Некоторая последовательность (xn )

как функция натурального аргумента n будет описывать процесс. Только что были изучены две простые модели финансового рынка. Тогда роль

(xn ) выполняла наращённая сумма (Sn ) .

Теперь обратимся к моделям описания динамики популяций. Например, можно изучить изменение во времени населения города (региона, страны). При этом будем предполагать отсутствие катастрофических последствий (в случае населения – войн, стихийных бедствий, эпидемий, вынужденных миграций и т.д.). Естественно, последовательность, описывающая такой процесс, будет положительной. Важными показателями изменения переменной во времени являются темп её прироста и темп роста.

Темпом прироста переменной за промежуток между двумя соседними периодами называется число rn , определяемое равенством

r	xn 1	xn	,
r			,
n	xn
	xn

а темпом роста – число

nxn 1 . xn

Очевидно, что n 1 rn .

Рассмотрим случай, если темп прироста постоянен: rn r const

30

при всех n . Тогда темп роста также постоянен, причём

1 r .

Тогда
xn 1	xn (1 r)xn , n	1, 2,...,
при этом первый член последовательности x		(1 r)x	0	, где x0 – значение
	1		0
переменной при t 0 . В случае популяции величина				x1 означает числен-

ность вида по истечении первого периода при первоначальной численности x0 . Выписанное рекуррентное соотношение означает, что последовательность

(xn ) – геометрическая со знаменателем q	1 r , совпадающим с
темпом роста.
Рассмотренная последовательность записывается в явном виде

xn	(1	r)n x0	n 1, 2,... .
Её члены дают численность популяции через n периодов при посто-
янном темпе прироста r	в каждом периоде и первоначальной численности
x0 .
Обратим внимание,	что при r		0 при увеличении n величина xn
стремится к нулю. Если же r		0 , то численность популяции неограниченно
растёт.

Гипотеза постоянного темпа прироста (например, населения) может применяться только на небольшом отрезке времени (число n периодов не очень велико), иначе можно получить не верные результаты. В литературе имеются более сложные, но и более реалистичные модели динамики популяции.

Упражнения

1. Даны следующие упорядоченные наборы из чисел:

1)...,		n, ...,	2,	1, 0, 1, 2, ..., n, ...;
2)	0,	1, 1, 2, 2, ..., n, n, ...;
3)	...,	n, ...,	2,	1,;
4)	1,	2, ...,	n, ...

Выясните, какие из них являются последовательностями.

2. Выпишите первые пять членов последовательностей, общие члены которых заданы формулами:

1) x	n	n;	2) x n3;	3) x	2n;
	n		n	n

Материал: 5691

Смотрите также: