Материал: 6386

Глава 6. Операции матричной алгебры в MathCAD

Контрольные вопросы

1.Как вы понимаете понятие матрица? Вектор?

2.Как понятие вектор n-мерного пространства связано со школьным понятием вектора (направленного отрезка)?

3.Что такое вектор-строка и вектор-столбец матрицы?

4.Что такое транспонирование матрицы?

5.Является ли матричное произведение коммутативным? А для квадратных матриц?

6.Как вычислить определитель матрицы?

7.Как задать матрицу (вектор) в MathCAD? Различаются ли эти понятия?

8.Что такое линейные операции с матрицами, векторами?

9.Какие операции над строками (столбцами) матрицы называются «эквивалентные преобразования»? Почему?

10.Как вычислить определитель матрицы разложением по строке (столбцу)?

11.Как с помощью средств MathCAD выделить нужный столбец матрицы?

12.Какие операции с матрицами можно производить?

13.Что такое обратная матрица? Когда она существует?

14.Что такое линейная комбинация векторов?

15.Как с помощью средств MathCAD выделить нужную строку матрицы?

16.Что такое обратная матрица? Как это понятие связано с обратным числом?

17.Как выделить требуемый фрагмент (подматрицу) заданной матрицы в

MathCAD?

18.Как выглядит матричная единица? Матричный ноль?

19.Как изменяется определитель матрицы при эквивалентных преобразованиях строк, столбцов матрицы?

20.Как вычислить обратную матрицу через алгебраические дополнения?

21.Какие векторы называются линейно зависимыми? Дайте строгое определение.

22.Что такое определитель матрицы?

23.Какая матрица называется диагональной? Треугольной?

24.Какие матрицы можно перемножать?

25.Какие векторы называются линейно независимыми? Дайте строгое определение.

26.Как величина определителя связано с числом линейно независимых строк (столбцов) квадратной матрицы?

27.Что такое ранг матрицы? Как значение ранга связано с определителем?

28.Как связано существование обратной матрицы и величина определителя?

29.Как изменяется определитель матрицы при ее умножении на число?

30.Что такое ранг матрицы? Как его рассчитать? Как он вычисляется в

MathCAD?

46

Профессиональные математические пакеты

6.4.Векторная геометрия

Математическое представление о векторе как о координатном наборе из n чисел, позволяет использовать его для описания физических явлений природы, обладающих направленностью и величиной. Таких как перемещение, скорость и ускорение, характеристики гравитационных, магнитных и электрических полей, ток и напряжение электрических схем и др.

e1, e2 , e3 .

Ортонормированный базис. Если векторы e1, e2 , e3 попарно перпендикулярны и длина каждого из них равна единице, то базис называется ортонормированным, а координаты x1, x2 , x3 – прямоугольными. Базисные векторы

ортонормированного базиса будем обозначать i , j , k .

В векторной геометрии определены три вида произведений векторов – это скалярное произведение, векторное и смешанное:

Скалярное произведение – это операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x . Скалярное

Через скалярное произведение определяется длина вектора, под которой обычно понимается его модуль или абсолютное значение:

47

Глава 6. Операции матричной алгебры в MathCAD

Рис. 19 – Результат векторного произведения направлен так, чтобы образовывать правую тройку векторов

Смешанное произведение помимо линейности обладает следующими свойствами:

a, b , c b , c , a c , a, b b , a, c c , b , a a , c , b .

Три вектора, лежащие в одной плоскости, называются компланарными (или иначе говоря – линейно зависимыми) тогда и только тогда, когда a , b , c 0 . Cледует из (11).

Тройка векторов является правой (Рис. 19) тогда и только тогда, когда a , b , c 0 .

Если же a , b , c 0 , то векторы a , b и с образуют левую тройку векторов.

Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование – это скаляр, по абсолютной величине равный объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах.

Линейная зависимость векторов

Важную роль в математике играет понятие линейной зависимости векторов. Линейная зависимость – это возможность выразить один вектор через другие вектора. Говорят, что вектор z является линейной комбинацией других векторов, например x и y ,

если существуют такие числа a и b, что z a x b y . Вектор z может быть выражен через x и y .

Если теперь из линейно зависимых векторов z , x и y составить матрицу А, то

определитель этой матрицы будет равен нулю, а ее ранг – будет равен двум. Понятие ранга матрицы и его свойства рассматриваются в курсе математики, для нас важно понимать, что

ранг – это количество линейно независимых векторов матрицы. Здесь можно рассматривать матрицу как набор из трех векторов-строк или трех векторов-столбцов.

Листинг 33. Определитель и ранг матрицы, состоящей из ЛЗС векторов

48

Профессиональные математические пакеты

Впримере (Листинг 34) матрица А составляется из линейно-зависимых векторов v1, v2 и v3, что определяет величину 2 ранга матрицы. И равенство нулю ее определителя.

Функция rref( ) в данном примере служит для приведения матрицы к треугольной форме. Поскольку система линейно-зависима, в полученной треугольной матрице rref(А) третья строка нулевая.

Влистинге ниже доказывается, что вектор-столбец v3 является линейной комбинацией векторов v1 и v2. Здесь подобраны коэффициенты (a= -1, b= 2) линейного разложения вектора v3 через векторы v1 и v2.

Листинг 34. Построение линейной комбинации векторов-столбцов матрицы А

Поскольку система линейно-зависима, в полученной треугольной матрице rref(А) третья строка нулевая (см. Листинг 33). Это значит, что и среди строк s1, s2 и s3 имеется одна – являющаяся линейной комбинацией двух других.

Листинг 35. Построение линейной комбинации векторов-строк матрицы А

В этом листинге рассчитаны коэффициенты (a= 0.5 и b= 0.5) линейного разложения вектора-строки s2 через векторы-строки s1 и s3.

Собственный вектор и собственное значение

Особое значение в алгебре имеет представление о матрице как о некотором линейном преобразовании (функции) над векторами. Действительно, умножение матрицы на вектор в результате дает некоторый новый вектор, т.е. матрица как бы преобразует вектор. На изучении свойств таких преобразований базируется вся компьютерная графика, часть теории дифференциальных уравнений и все операционное исчисление. Здесь мы лишь коснемся двух базовых понятий теории линейных пространств – собственный вектор и собственное число матрицы (линейного преобразования).

Собственный вектор x – это вектор, умножение матрицы А на который даёт тот же самый вектор, умноженный на некоторое скалярное число λ, называемое собственным числом матрицы:

(12)

Понятия собственного вектора и собственного числа являются одними из ключевых в линейной алгебре, на их основе строится множество конструкций. Множество всех собственных векторов линейного преобразования называется собственным подпространством, множество всех собственных значений матрицы или линейного преобразования – спектром матрицы или преобразования.

ВMathCAD существуют функции eigenvals( ) и eigenvec( ) для нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы (12), кроме того имеется функция eigenvecs( ) для получения всех собственных векторов сразу.

Впримере, приведенном ниже (Листинг 36) для матрица А, заданной произвольно, рассчитываются собственные числа при помощи функции eigenvals( ). В нашем случае – два из них комплексно-сопряженные, а одно – вещественное. Затем для них строятся собственные векторы eigenvec( ) и eigenvecs( ), после чего производится проверка правильности вычисления собственных значений и векторов по формуле (12).

49

Глава 6. Операции матричной алгебры в MathCAD

Листинг 36. Собственные вектора и собственные значения матрицы

Проверка:

6.5.Сила Лоренца в электромагнитном поле

Понятие вектора используется в электрофизике для работы с объектами имеющими направление и величину. Рассмотрим задачи на вычисление силы Лоренца в электромагнитном поле. Сила F [Н], действующая на частицу с электрическим зарядом q [Кл], движущуюся со скоростью v [м/с], во внешнем электрическом E [В/м] и магнитном B [Тл] полях, такова:

Рис. 20 – Результат векторного произведения направлен так, чтобы образовывать правую тройку векторов

При решении задач такого рода, предполагается, что направления силовых линий электрического ( E ) и магнитного ( B ) поля, а также направление движения заряда ( v ) описываются соответствующими векторами, имеющими три координаты в пространстве. Направление результирующей силы вычисляется в соответствии с законом (13).

Сила Лоренца в магнитном поле (напряженность электрического поля E равна 0)

Магни́тная инду́кция B [Тл] – векторная величина, являющаяся силовой характеристикой магнитного поля (его действия на заряженные частицы) в данной точке пространства. Иначе, B – это такой вектор, что сила Лоренца F , действующая со стороны магнитного поля на заряд q, движущийся со скоростью v , равна

50