Материал: 6386

α — угол между векторами скорости и магнитной индукции (направление вектора F перпендикулярно им обоим и направлено по правилу векторного произведения, см.

Рис. 20).

В однородном магнитном поле (Рис. 21) частица будет двигаться по окружности, при этом сила Лоренца будет центростремительной силой. Работа при этом не будет совершаться.

Листинг 37. Пример расчета силы Лоренца в электромагнитном поле

6.6. Практическая работа № 5 Операции с векторами

Продолжительность – 2 часа.

Цель работы

51

Глава 6. Операции матричной алгебры в MathCAD

Освоение умений, навыков и компетенций работы с векторами в MathCAD. Закрепление знаний, полученных в курсе «Высшая математика» в разделах «Линейная алгебра», «Аналитическая геометрия» и «Векторный анализ».

Получение компетенций, позволяющих представлять взаимное расположение векторов, определять их величину, линейную зависимость и независимость, выполнять операции с векторами. Строить матричные преобразования векторов, вычислять собственные вектора и собственные числа матриц.

Задание на практическую работу

1. Создать программу в среде MathCAD и произвести перечисленные ниже исследования в соответствии со своим вариантом индивидуального задания

(Таблица 10, Приложение 5).

2. Задать в трехмерном пространстве два вектора a и b (Таблица 10). Вычислить их длины вручную, по формуле (8) и с помощью средств MathCAD.

3.Построить их сумму, разность; скалярное, векторное произведения. Описать их взаимное расположение. Вычислить угол между векторами a и b .

4.Определить, какое преобразование с векторами a и b производит матрица А,

аточнее – линейный оператор заданный матрицей А (Таблица 10).

5.Построить собственные значения и собственные вектора матрицы А. Проверить, что они найдены верно (Листинг 36). Построить треугольную матрицу, эквивалентную заданной матрице А.

6.Задать матрицу B из случайных элементов, состоящую из линейно-зависимых векторов-строк или векторов-столбцов, вычислить определитель и ранг матрицы В (Листинг 33). Построить треугольную матрицу, эквивалентную заданной матрице В.

7.Построить линейные комбинации одной из строк матрицы В (Листинг 34) и одного из столбцов матрицы В (Листинг 35).

8.Матрицы и векторы результатов сохранить в текстовых файлах (Рис. 18).

9.Составить отчет.

Контрольные вопросы

1.Как понятие вектор n-мерного пространства связано со школьным понятием вектора (направленного отрезка)?

2.Что такое линейная комбинация векторов?

3.Что такое сила Лоренца? Чему она равна?

4.Дайте определение скалярного произведения векторов. Опишите его свойства.

5.Какие векторы называются линейно зависимыми? Дайте строгое определение.

6.Дайте определение векторного произведения векторов. Опишите его свойства.

7.Как определить число линейно независимых векторов в системе?

8.Что такое смешанное произведение векторов?

9.Какие векторы называются собственными векторами матрицы? Что такое собственные числа матрицы?

10.Какие векторы называются линейно независимыми? Дайте строгое определение.

11.Что такое базис? Ортонормированный базис?

12.Какая система векторов может считаться базисом?

13.Как вычислить силу Лоренца в магнитном поле? В электромагнитном поле?

14.Как вы понимаете понятие линейный оператор? Как это понятие связано с матрицей?

52

Профессиональные математические пакеты

7.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и матрицы весьма тесно связаны. Матричная алгебра возникла в связи развитием методов решения линейных уравнений (алгебраических, дифференциальных) и отражает основные законы преобразования систем таких уравнений. Система линейных алгебраических уравнений в матричной форме выглядит так:

где А – матрица с m строками и n столбцами с известными элементами; x – вектор искомых решений размера n; b — вектор правых частей с известными элементами размера m.

В разделе матричной алгебры курса «Высшая математика» рассматривается вопрос о том, когда система вида (16) имеет решение. Здесь мы не будем разбирать его подробно, отметим лишь самое главное:

Если матрица А квадратная (n=m) и невырождена, то x=A–1b — единственное решение (17). Можно найти его непосредственно при помощи умножения слева на обратную матрицу, а можно при помощи функции lsolve.

Листинг 38. СЛАУ непосредственный поиск решения. Функция lsolve

7.1.Метод Гаусса

Системы линейных алгебраических уравнений (16) встречались обучаемому еще в курсе средней школы. Там для решения подобных систем использовался метод последовательного выражения неизвестных xi , i 1..n и подстановки полученного

равенства в оставшиеся уравнения.

Этот метод в математике называется методом Гаусса, и в матричном виде сводится к эквивалентному домножению на константу и суммированию строк (но не столбцов) расширенной матрицы Ab augment(A,b) с целью приведения ее к

53

Глава 7. Системы линейных алгебраических уравнений

ступенчатому виду – как матрица Ag на листинге (Листинг 39). Крайний правый столбец матрицы Ag – решение.

Листинг 39. Метод Гаусса. Функция rref

Команда ORIGIN:=1 переопределяет принцип нумерации элементов матриц – теперь они нумеруются не с 0, а с 1.

Метод Гаусса можно реализовать вручную преобразуя строки матрицы (как в примере Листинг 72 (Приложение 13), а можно использовать встроенную функцию rref, как показано на примере. Можно доказать, что полученная матрица Ag эквивалентна матрице Ab и описывает одну и ту же исходную систему линейных алгебраических уравнений.

7.2.Правило Крамера

Еще один широко известный способ построения решения системы (16) – правило Крамера (Листинг 40). Этот метод состоит в последовательном построении вспомогательных матриц A1, A2, … An путем замены i-того столбца матрицы вектором правых частей b и вычисления неизвестных переменных xi , i 1..n как отношение

определителей матриц Ai и А.

Листинг 40. правило Крамера

54

Профессиональные математические пакеты

Разумеется, корни системы уравнений (16) можно отыскать известными нам из предыдущих занятий операторами Given-Find и Given-Minerr.

7.3.СЛАУ вырожденный случай

Главным критерием существования решения СЛАУ является ранг матрицы. В примерах, рассмотренных выше Листинг 38 - Листинг 40, ранг основной матрицы равнялся рангу расширенной матрицы – самый простой тип СЛАУ, для которого существует единственное решение (17). Это объясняется тем, что количество линейнонезависимых уравнений системы (16) равняется количеству неизвестных.

Если в СЛАУ количество уравнений больше числа неизвестных, ясно, что такая система избыточна. И может быть противоречивой, в этом случае решения у системы может и не быть. Вопрос о существовании решения в этом случае сводится к поиску непротиворечивого подмножества всех уравнений – такого, для которого ранг основной матрицы равен рангу расширенной и равен числу неизвестных (18).

В этом случае множество решений строится следующим образом. Поскольку количество уравнений m меньше числа неизвестных n (n>m), нам необходимо выбрать m зависимых переменных (обозначим их вектором x1) и выразить их через оставшиеся (n–m) переменных – свободные переменные (обозначим их вектором x2). Это возможно, если матрица A имеет m независимых строк, иными словами ни одно из уравнений не является линейной комбинацией других. Систему уравнений можно преобразовать к виду:

где А1 — квадратная матрица m m, состоящая из коэффициентов при компонентах вектора x1, а A2 — матрица, содержащая m строк и (n–m) столбцов, образованная коэффициентами при компонентах вектора x2.

Ясно, что решение такой системы будет представлять собой некоторую матричную функцию от свободных переменных x1 F(x2 ) , которую можно записать

таким образом: x1 A1 1 (b A2 x2 ) . Реализация таких вычислений сводится к компоновке матриц A1 и A2 из столбцов исходной матрицы A и взятию обратной матрицы A1 1 , выполнение этих действий в среде MathCAD не составляет проблем.

Пример ниже (Листинг 41) иллюстрирует неоднозначность решений СЛАУ вида (20) в зависимости от того, как задана свободная переменная. Можно видеть, что разные методы решения – lsolve, Given-Find и rref выдают различные результаты. В связи с этим, к поиску решения СЛАУ нельзя подходить «бездумно», MathCAD –это всего лишь инструмент, он помогает в изучении математики, но не заменяет её.

Листинг 41. Бесконечное множество решений СЛАУ

55