Материал: 6386

Профессиональные математические пакеты

сопротивления, а токи и напряжения представлять в комплексной форме, по аналогии с

(39).

Значения установившихся токов и напряжений цепи переменного тока можно рассчитать аналогично (п. 7.6 Лабораторная работа №7. Расчет цепи постоянного тока) через законы Кирхгофа и закон Ома, справедливых для комплексных сопротивлений (45).

Рассмотрим этот метод на примере.

Рис. 33 – Расчет цепи переменного тока

1) Построим комплексные сопротивления Z участков цепи по определению (45). На Рис. 33,а пунктирными прямоугольниками отмечены участки, на которых комплексное сопротивление имеет и активную (R), и реактивную (X) составляющие.

схемы и вычислим реактивные сопротивления XL1, XL2 и XC1 по формулам (41), (44):

2) Построим уравнения (и матрицы) для нахождения токов по законам Кирхгофа: (1): i1-i2-i3-i4=0; (I): UZ1+UZ2=E; (II): UZ3-UZ2=0; (III): UZ4-UZ3=0.

3) Выпишем матрицы и вычислим токи на участках рассматриваемой цепи переменного тока:

Рассчитаем модули и аргументы токов в комплексном представлении

71

Глава 8. Комплексные вычисления в MathCAD

На графике справа красными точками обозначены 4 комплексных числа – искомые токи в комплексной интерпретации. Амплитуда переменных токов опреде-

i1(t)

-5

i4(t)

Рис. 34 – Токи в цепи переменного тока представленные в виде вращающихся комплексных векторов

Обратите внимание, что выражение (39) описывает переменные токи, поэтому

времени. Красные точки задают начальную фазу движения (в начальный момент времени t0 0 ), в дальнейшем, при изменении времени t фаза вектора будет

изменяться по закону t arg Ik с частотой ω, как показано на Рис. 34.

Таким образом можно представить любой гармонический сигнал. Отобразим переменные токи как функции от времени (Рис. 35):

Рис. 35 – Токи в цепи переменного тока

72

Профессиональные математические пакеты

4) Рассчитаем и представим на графике напряжения на всех активных и реактивных элементах исследуемой цепи в виде векторной диаграммы комплексных величин (Рис. 36,а) и в виде функций от времени (Рис. 36,б).

Рис. 36 – Напряжения в цепи переменного тока

5) Проверим правильность произведенных вычислений двумя способами. Вопервых, можно проверить выполнимость законов Кирхгофа для любого момента времени – сумма токов в узле должна равняться нулю, а сумма напряжений в любом контуре – сумме источников ЭДС. Для примера расcчитаем и построим на графике следующую функцию:

Рис. 37 – Сумма падений напряжения в 1 контуре в любой момент времени

Как видно из графика (Рис. 37), функция sumU(t), представляющая собой сумму четырех различных по амплитуде и фазе синусоид, в любой момент времени имеет нулевое значение.

73

Глава 8. Комплексные вычисления в MathCAD

Проверка законов Кирхгофа для исследуемой схемы (а) в комплексном представлении (б) и в мгновенных значениях (в) – в любой заданный момент времени t:

(а) (б) (в)

UR2+ UL2-UC1-UR3=0 UC1+UR3-UL1=0 UR1+UR2+ UL2=E i1-i2-i3-i4=0;

При проверке уравнений, составленных по законам Кирхгофа для исследуемой схемы в мгновенных значениях (в) случайным образом задан момент t = 0.02 [с], однако, можно произвести проверку в любой другой момент времени.

6) Во-вторых, рассчитаем баланс мощностей в схеме по формулам (46)-(49), построив полную мощность источников энергии Sист [ВА] и полную суммарную мощность всех потребителей Sпотр [ВА].

Можно видеть, что активная мощность источника равняется сумме мощностей, потребляемых активными элементами цепи, а реактивная мощность источника равняется по модулю сумме мощностей, потребляемых реактивными элементами схемы.

8.9. Лабораторная работа № 9. Расчет цепи переменного тока

Продолжительность – 4 часа.

Цель работы

Закрепление умений и навыков по работе с комплексными числами. Актуализация математических компетенций в предметной области направлений электроника, наноэлектроника, электротехника, физика. Развитие творческого, осознанного подхода к решению систем уравнений с комплекснозначными величинами. Получение навыков рассуждения и анализа полученных результатов.

Представление понятий школьного курса физики, раздел «Электричество и магнетизм» в комплексной форме. Практическое осознание закона сохранения энергии. Вырабатывание стратегического, аналитического взгляда на прикладные задачи и практического подхода к теоретическим знаниям.

Задание на лабораторную работу

1.Рассчитать токи и напряжения для заданной в индивидуальном задании цепи (Таблица 17, Приложение 8). Номиналы элементов цепи выбрать в соответствии с вариантом (Таблица 16, Приложение 8).

2.Отобразить рассчитанные значения в виде векторной диаграммы в пространстве комплексных чисел и в виде функций от времени.

74

Профессиональные математические пакеты

3.Произвести проверку для всех уравнений, составленных по законам Кирхгофа в комплексной форме и в мгновенных значениях. Построить суммарные токи в узлах и сумму падений напряжений в контурах на графиках.

4.Рассчитать баланс мощностей рассматриваемой схемы.

5.Составить отчет, в котором отразить последовательность расчетов токов и напряжений рассматриваемой схемы, провести проверку, привести скриншоты с результатами работы программы.

6.Демонстрационный пример расчета цепи переменного тока приведен в приложениях (Приложение 14).

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте первый закон Кирхгофа для цепи переменного тока.

2.Как связано напряжение, сопротивление и ток в резисторе?

3.Что такое активное сопротивление, как оно связано с полным сопротивлением участка цепи переменного тока?

4.Сформулируйте закон сохранения энергии в приложении к балансу мощностей цепи переменного тока.

5.Что такое полное сопротивление участка цепи? Запишите формулу.

6.Как связано векторное (комплексное) представление напряжения и форма его гармонического сигнала?

7.Назовите единицы измерения полной, активной и реактивной мощностей. Как они связаны?

8.Как вычисляется активная мощность источника?

9.Сформулируйте баланс мощностей в цепи переменного тока.

10.Полная мощность. По каким формулам можно вычислить мощность?

11.Сформулируйте закон Ома для цепи переменного тока.

12.Могут ли токи иметь отрицательное значение в цепи переменного тока?

13.На что расходуется энергия активного сопротивления участка цепи? Как вычисляется величина потраченной мощности?

14.Как изменяется вектор комплексного представления тока при изменении времени?

15.Назовите единицы измерения тока, напряжения, сопротивления и мощности.

16.Сформулируйте второй закон Кирхгофа для цепи переменного тока.

17.Как связано напряжение, сопротивление и ток в конденсаторе?

18.Что такое реактивное сопротивление, какое оно бывает? Как оно связано с полным сопротивлением участка цепи переменного тока?

19.В чем состоит идея представления гармонического сигнала комплексной переменной? Как изменяется угол?

20.Как связано векторное (комплексное) представление тока и форма его гармонического сигнала?

21.Как связано напряжение, сопротивление и ток в катушке индуктивности?

22.На что расходуется энергия реактивного элемента цепи? Как вычисляется величина потраченной мощности?

23.Чем отличается мгновенная (полная) фаза сигнала от начальной его фазы? Запишите формулу.

75