Материал: 6386

Профессиональные математические пакеты

8.КОМПЛЕКСНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

8.1.Теория чисел. Краткий обзор.

Развитие цивилизации требует развития абстрактных научных взглядов на

объекты природы, в первую очередь это относится к математике. Развитие теории чисел определяется теми операциями, которые необходимо производить с числами.

На заре человечества требовалось лишь операция «счет» для которого было достаточно натуральных чисел 1, 2, 3, ... . Натуральные числа можно было только складывать, однако, появление операции «вычитание» определило множество целых чисел 0, 1, 1, 2, 2, ... . Для целых чисел применимы операции «умножения», «деления нацело» и «остаток от деления». Появление операции «дробь» или «деление» обусловило появление множества рациональных чисел a / b, где а, b целые числа .

Рациональные числа можно умножать, делить и возводить в степень, но извлекать корень – нельзя. Операция «извлечение корня из положительного числа» определила

множество иррациональных (или действительных) чисел , , изображаемых

обычно в виде числовой прямой.

Ясно, что каждое последующее числовое множество включает в себя все предыдущие. Но как же быть с корнем из отрицательного числа? Придется построить очередное расширение множества вещественных чисел, но в математике существует строгая теорема, доказывающая, что никаких других чисел кроме действительных на числовой прямой нет.

Подойдем с другой стороны. Понятно, что 16 16 ( 1) 16 1 4 1 и понятно, что любой корень из отрицательного числа может быть представлен в виде

произведения некоторого действительного числа на 1 . Таким образом, корни из положительных и корни из отрицательных чисел могут быть получены друг из друга

y Im(z ) – вещественные числа, а i – мнимая единица, определяемая равенством

i2 1 или i 1 . Геометрическая интерпретация комплексного числа очевидна – каждому комплексному числу z соответствует точка на комплексной плоскости с координатами (x, y). Ось абсцисс называется действительной осью, ось ординат –

мнимой.

arg(z) Re(z) x

Рис. 24 – Представление комплексного числа в MathCAD

При вводе комплексных чисел в программе на MathCAD для ввода комплексной единицы необходимо всегда набирать 1i или 1j, в противном случае MathCAD

61

Глава 8. Комплексные вычисления в MathCAD

истолкует i или j как переменную. Когда курсор покидает выражение, содержащее 1i или 1j, MathCAD скрывает невидимую 1 и оставляет только i.

Понятно, что любую точку на плоскости можно записать в декартовых (x, y) координатах или в полярных , . Расстояние ρ от точки z до начала координат

называется модулем числа z и обозначается z . Угол между положительным

направлением действительной оси и радиус-вектором точки z называется аргументом числа z и обозначается arg(z). По определению,

Если радиус-вектор числа z совершит полное число оборотов вокруг начала координат, то он совпадает с первоначальным положением, а угол увеличится на число кратное 2 . Совокупность всех этих углов называется полным значением аргумента и обозначается

Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа

Кроме алгебраической формы z x iy часто используют тригонометрическую

Нужно отдавать себе отчет, что классическое декартовое представление

комплексного числа z x i y , тригонометрическая форма (29) и показательная

форма (30) определяют одно и то же комплексное число!

Рис. 25 иллюстрирует возможность перехода между этими тремя формами записи одного и того же числа.

Рис. 25 – Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа

62

Профессиональные математические пакеты

8.3.Операции над комплексными числами

Рис. 26 – Операции над комплексными числами

8.4.Понятие комплексных функций

Сточки зрения MathCAD нет разницы между вычислением вещественнозначной или комплексной функции. Трудности состоят в том, что обычный человек не может визуально представить себе функцию размерности больше 3, а комплексные функции отображают точку из двумерной комплексной плоскости в двумерную комплексную плоскость, т.е. четырехмерное изображение. Поэтому при работе с комплексными функциями пользуются аналитическими или табличными представлениями функций, но не графиками.

На рисунке (Рис. 27) схематично изображено множество В, называемое образом множества A при воздействии на все его точки функцией (z) w, z A, B= ( A) .

Множество А называется прообразом множества В. От функции (z) .

По виду результирующего множества ( A) В , (образа множества А) можно догадываться о поведении функции ψ и о ее свойствах (см. Рис. 27).

63

Глава 8. Комплексные вычисления в MathCAD

Рис. 27 – Представление комплексных функций

Комплексная переменная w (z) u(z) i v(z) называется функцией комплексной переменной z x i y , если каждому значению z из комплексной плоскости соответствует одно или несколько значений w. Здесь u(z) u(x, y) –

вещественная и v(z) v(x, y) – мнимая части функции w (z) .

Многозначные функции

При использовании в комплексной области многие функции, о которых мы привыкли думать как о возвращающих одно значение, становятся многозначными, как, например в (33) для функции «корень n-ной степени из комплексного числа».

Общее правило состоит в том, что для многозначной функции MathCAD всегда возвращает значение, составляющее на комплексной плоскости самый маленький положительный угол с положительным направлением действительной оси. Оно называется главным значением аргумента. Единственное исключение из этого правила

– оператор корня n-ной степени, описанный в (33) – этот оператор возвращает вещественный корень всякий раз, когда это возможно.

Например, если требуется вычислить 3 1 , MathCAD вернёт -1, хотя кубическим корнем из -1, кроме того, являются числа 0.5+0.866i и 0.5-0.866i.

Рис. 28 – Пример многозначной функции 32 3i

Рассмотрим свойства некоторых элементарных функций комплексной переменной.

64

Профессиональные математические пакеты

Линейная функция

w(z) a z b , где a и b – постоянные комплексные числа. Это отображение

преобразует прямые в прямые (углы между прямыми сохраняются) и окружности в окружности.

Дробно-линейная функция

отображение преобразует окружность или прямую в окружность или прямую. Внутренняя область отображаемой окружности переходит во внутреннюю или во внешнюю область образа. Частный случай этой функции (a=d=0, b=с=1) – функция w(z) 1 z , называется инверсией.

экспоненциальной, бесконечнозначная функция. Дополнительно принимается, что

Ln(0) , и Ln( ) .

Значение логарифма при k=0 называется главным значением логарифма и

Когда – целое вещественное число, то степень имеет одно значение, т.к.

ровно q различных значений (33). Во всех других случаях степень имеет бесконечное множество значений.

65