Материал: 6386

Профессиональные математические пакеты

11.ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Большинство научно-технических задач в области электроники и наноэлектроники (особенно, относящихся к анализу динамических систем и их математическому моделированию) базируются на решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Практически любой физический закон, включающее величины, изменяющиеся с течением времени содержит информацию о скорости изменения этих величин (производные), а следовательно описывается дифференциальными уравнениями.

Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, включающее в себя не только неизвестные функции, но и их производные относительно некоторых свободных переменных.

Решить дифференциальное уравнение – это записать в явном виде все функции, входящие в ДУ и все их производные, сводящие уравнение к тождеству. Иногда решения ищутся в виде явных формул, но чаще их удается представить лишь в приближенном виде или же получить о них качественную информацию. Часто бывает трудно установить, существует ли решение вообще, не говоря уже о том, чтобы найти его, в этой связи использование математических пакетов незаменимо.

Если в уравнение входит только первая производная, то оно называется ДУ первого порядка, если еще и вторая производная, то – второго, и т.д.

Если уравнение имеет производные относительно только одной свободной переменной, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением

(ОДУ), а если оно включает в себя производные по различным переменным, то называется дифференциальным уравнением в частных производных (ДУЧП). В этом курсе ДУЧП не рассматриваются.

Рассмотрим для начала ОДУ первого порядка:

Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием и это понятно, ведь для нахождения первообразной функции по известной производной требуется ее проинтегрировать. Но этим решение ДУ не ограничивается (!), поскольку известно, что первообразную можно найти только с точностью до константы:

семейство таких функций, отличающихся константой (а в некоторых случаях – целый набор таких семейств функций). Каждая отдельная функция называется интегральной кривой (или частным решением), в то время как зависимость описывающая все (!) возможные частные решения – называется общим решением.

Решить ДУ, это значит описать именно общее решение, однако на практике, в задачах электродинамики и т. п., зачастую требуется выбрать из семейства решений одно единственное, обладающее дополнительными свойствами. Эти свойства позволяют задаться точным значением константы С из (57). Такая постановка задачи

91

Глава 11. Обыкновенные дифференциальные уравнения

называется задачей Коши, а дополнительные свойства частного решения как правило задаются начальными условиями.

Задача Коши для ОДУ первого порядка формулируется таким образом:

и начальным условиям y(t0 ) y0 ,

где y0 – значение функции y(t) в момент времени t0.

Из курса высшей математики (раздел «Теория дифференциальных уравнений») известно, что ОДУ n-ного порядка (54) может быть без ограничения общности сведено к системе n дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого достаточно произвести следующие обозначения (замены):

Проблема аналитического поиска решений задач (58) и (60) рассматривается в курсе высшей математики в разделе «Теория дифференциальных уравнений», а методы поиска численных решений задач (58) и (60) изучаются в разделе «Вычислительная математика».

11.1.Численные методы решения ОДУ

Численные методы решения ОДУ основаны на замене производных, входящих в уравнение, разностными функциями различного вида и поиске приближенных значений функции y(t) на некотором наборе точек ti , i 0..m – сетке. Интервал между

соседними точками называется шагом интегрирования t ti 1 ti . Значения функции

рекуррентную зависимость от значений функции y(ti ) в предыдущей точке ti .

По определению, производная функции – это предел отношения приращения функции y(t t) y(t) к приращению аргумента t , когда последний стремится к

нулю. Заменим производную, входящую в (58) рекуррентным соотношением в соответствии с определением:

92

Профессиональные математические пакеты

Отсюда следует:

yi 1 yi f (ti , yi ) t

y(t0 ) y0 ; . (63) ti 1 ti t, i 0,.., m 1

Выражение (63) называется явным методом Эйлера. Решим в MathCAD простейшее

начальными условиями y(0) 1. Аналитическое решение заданного ОДУ известно:

t

y(t) С e2 .

С учетом начальных условий вычислим С= 1. Точное решение позволит оценить погрешность данного численного метода, которая, в общем, пропорциональна ( t)2 .

Листинг 68. Решение ОДУ по явному методу Эйлера

Вектор t содержит узлы сетки, а вектор y – найденные значения функции y(ti ) в узловых точках сетки. Построим эти точки на графике и для сравнения – значения аналитического решения z(ti ) заданного ОДУ в этих же точках:

Листинг 69. Погрешность решения ОДУ по явному методу Эйлера

Анализ полученных результатов подтверждает, что ошибка увеличивается квадратично с ростом t. Для уменьшения погрешности следует уменьшать шаг интегрирования или применять другие итерационные методы решения ОДУ.

93

Метод Рунге-Кутты четвертого порядка:

Встроенные методы решения ОДУ

В вычислительное ядро встроенной функции решения ОДУ – Оdesolve заложен метод Рунге-Кутты четвертого порядка (65). Данная функция имеет следующий формат:

Given

Odesolve(t, tm, m)

Здесь t – имя переменной, относительно которой решается уравнение, tm – конец интервала интегрирования, m – число шагов интегрирования.

Листинг 70. Решения ОДУ при помощи встроенной функции Odesolve

Визуально точное и численное решения полностью совпали. Читателю предлагается самостоятельно вычислить погрешность данного метода по аналогии с примером выше (см. Листинг 69).

Встроенные методы решения систем ОДУ

Для численного решения систем ОДУ (60) в MathCAD введен большой набор функций:

94

Здесь t0, tm – границы интервала интегрирования, y0 – вектор начальных условий (60), m – число шагов интегрирования. D – векторная функция размера N×1 скалярного аргумента t и векторного y, причем, вектор y0 и искомая функция y(t) так же имеют размерность N×1.

N – порядок системы уравнений.

Расширенная матрица Якоби AJ имеет размерность N×(N+1). Её первый столбец

Каждая из приведенных функций возвращает решение в виде матрицы (m+1)×(N+1): в ее левом столбце находятся значения узлов сетки ti, а в остальных N столбцах – значения искомых функций y1(t), y2(t), …, yN(t), рассчитанные в этих узлах. Поскольку всего точек помимо начальной m, то строк в матрице – m+1.

11.2.Переходный процесс в электрической схеме

Переходные процессы – это процессы, возникающие в электрических цепях при различных воздействиях, приводящих к изменению их режима работы, то есть при действии различного рода коммутационной аппаратуры, например, ключей, переключателей для включения или отключения источника или приёмника энергии, при обрывах в цепи, при коротких замыканиях отдельных участков цепи и т. д.

Физическая причина возникновения переходных процессов в цепях — наличие в них катушек индуктивности и конденсаторов, то есть индуктивных и ёмкостных элементов в соответствующих схемах замещения. Объясняется это тем, что энергия магнитного и электрического полей этих реактивных элементов не может изменяться скачком при коммутации (процесс замыкания или размыкания выключателей) в цепи.

Реактивные элементы – элементы, способные накапливать электрическую энергию и отдавать ее либо источнику, от которого эта энергия была получена, либо передавать другому элементу. В любом случае этот элемент не превращает электрическую энергию в тепловую.

Переходный процесс в цепи описывается системой дифференциальных уравнений. Переходный процесс бывает неоднородным, если схема замещения цепи содержит источники ЭДС и тока, и однородным – если не содержит. Переходный процесс называется линейным (нелинейным) для линейной (нелинейной) электрической цепи.

Подчеркнем еще раз, что переходные процессы не могут протекать мгновенно,

так как невозможно в принципе мгновенно изменять энергию, накопленную в электромагнитном поле цепи. Теоретически переходные процессы заканчиваются за время t→∞. Практически же переходные процессы являются быстропротекающими, и их длительность обычно составляет доли секунды. Так как энергия магнитного WМ и электрического полей WЭ описывается выражениями

95