Материал: 6386
Глава 11. Обыкновенные дифференциальные уравнения
то ток в индуктивности и напряжение на емкости не могут изменяться мгновенно. На этом основаны законы изменения тока и напряжения.
Законы изменения тока и напряжения в активных (резистор) реактивных (катушка индуктивности и конденсатор) элементах описываются формулами (67):
iR (t) |
uR (t) |
|
iC (t) C |
|
duC (t) |
|
iL (t) |
1 |
uL (t)dt |
(67) |
|||
R |
|
dt |
L |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
uR (t) R iR (t) |
uС (t) |
1 |
iC (t)dt |
uL (t) |
L |
diL (t) |
|
|
|||||
C |
dt |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
С использованием известных законов Ома и Кирхгофа, с учетом формул (67), строится система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая процесс изменения токов и напряжений в реактивных элементах – переходный процесс от начальных условий X0 до установившегося режима работы.
В качестве примера решения ОДУ рассчитаем переходный процесс в электрической схеме, приведенной на Рис. 42.
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L = 0.01 Гн |
|
|
|
iL |
|
|
|
|
|
|
C = 10-6 Ф |
|
E |
|
|
|
|
|
|
C |
R = 100 |
Ом |
|
|
|
iR |
|
R |
iC |
|
E = 100 |
В |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 42 – Схема замещения
Система дифференциальных уравнений, описывающих данную схему строится на основе законов (21)-(23), а так же зависимостей относительно тока и напряжения в L
и C (67).
Выражая из полученных зависимостей относительно I и II законов Кирхгофа токи в активных элементах (резисторах) до тех пор, пока не останется столько дифференциальных уравнений, сколько реактивных элементов в схеме (в нашем примере – 2).
|
duC |
|
|
1 |
|
i |
u C |
|
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
dt |
|
|
|
|
|
L |
R |
|
|
|
|||
|
|
C |
|
|
|
. |
|||||||
|
|
diL |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
E u |
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
dt |
|
|
L |
|
C |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
iL |
t |
|
0 |
|
X t u |
t |
, |
X 0 0 . |
(68) |
C |
|
|
|
|
После того, как система ОДУ выписана в явном виде – в левой части только производные, в правой (68) – все остальное, строится матрица системы D(t,x). И решается система ОДУ изученными ранее методами.
Решим полученную систему дифференциальных уравнений первого порядка с заданными начальными условиями, результат вычислений будет представлять собой графики переходного процесса тока и напряжения в электрической схеме, приведенной на Рис. 42. Решение будем искать численно по методу Рунге-Кутта.
Полученный результат будет представлять собой массив точек, который, при необходимости, можно сгладить методами интерполяции.
96
Профессиональные математические пакеты
Листинг 71. Решения ОДУ. Построение переходного процесса
Вданном примере переходный процесс имеет перерегулирование и завершается
втечении приблизительно 2*10-4 с, сходясь к постоянному значению тока и напряжения, которые не имеют гармонических колебаний.
11.3. Лабораторная работа № 12. Решение системы ОДУ
Продолжительность – 4 часа.
Цель работы
Применение математических знаний в части решения ОДУ и систем ОДУ на примере исследования переходного процесса электрической цепи. Осмысление принципов изменения тока и напряжения в реактивных элементах схемы. Физическое осмысление понятий теории дифференциальных уравнений: ОДУ, начальные условия, производные электрических величин – как скорость изменения электромагнитных параметров сигнала.
Задание на лабораторную работу
1. Рассчитать переходный процесс в схеме (в соответствии с индивидуальным заданием Таблица 20), составив и решив систему дифференциальных уравнений
относительно вектора неизвестных x(t) [iL (t), uC (t)]T с начальными условиями x(0) [0, 0]T . Построить график переходного процесса в цепи постоянного тока.
2.Рассчитать энергию магнитного поля, накапливаемую в катушке индуктивности и энергию электрического поля – в конденсаторе.
3.Заменив источник постоянного напряжения на источник переменной ЭДС (в соответствии с индивидуальным заданием Таблица 3), построить график переходного процесса в цепи постоянного тока с гармоническим сигналом на входе при тех же нулевых начальных условиях.
4.Пользуясь методом, изученным в § Лабораторная работа № 9. Расчет цепи переменного тока, решить задачу по поиску установившихся токов и напряжений в цепи. Сравнить полученный результат с графиком переходного процесса, построенного
впредыдущем пункте. Сделать выводы.
97
Глава 11. Обыкновенные дифференциальные уравнения
5. Составить отчет о проделанной работе, в котором отразить процесс построения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, вывод матрицы D(t,x), привести программу на MathCAD, и результаты вычислений как для цепи с постоянным напряжением источника, так и для гармонического входного напряжения. Привести графики переходных процессов, привести графики установившихся iL(t) и uC(t), привести результаты проверки правильности построенных токов и напряжений в соответствии с п Лабораторная работа № 9. Расчет цепи переменного тока, сделать выводы.
Варианты индивидуальных заданий
Таблица 3. Входное напряжение синусоидальной формы
№ |
|
E(t) |
№ |
|
E(t) |
1. |
E(t) 10 sin(1000 t / 3) B |
8. |
E(t) 150 |
sin(1000 t 3 / 7) B |
|
|
|
|
|
||
2. |
E(t) 100 sin(2000 t / 4) B |
9. |
E(t) 24 sin(3000 t / 3) B |
||
|
|
|
|
|
|
3. |
E(t) 200 |
sin(3500 t / 6) B |
10. |
E(t) 500 sin(2000 t ) B |
|
|
|
|
|
|
|
4. |
E(t) 110 |
sin(100 t / 2) B |
11. |
E(t) 200 sin(2000 t 2 / 3) B |
|
|
|
|
|
|
|
5. |
E(t) 220 |
sin(50 t / 3) B |
12. |
E(t) 100 |
sin(100 t / 5) B |
|
|
|
|
|
|
6. |
E(t) 100 |
sin(1000 t / 2) B |
13. |
E(t) 50 sin(3000 t / 4) B |
|
|
|
|
|
|
|
7. |
E(t) 60 sin(1000 t 3 / 4) B |
14. |
E(t) 100 |
sin(2000 t 3 / 4) B |
|
|
|
|
|
|
|
Контрольные вопросы:
1.Какое уравнение называется дифференциальным?
2.Что понимается под термином решение дифференциального уравнения?
3.Что такое задача Коши?
4.Как влияют начальные условия на решение дифференциального уравнения?
5.Что такое общее (полное) решение дифференциального уравнения?
6.Что является частным решением задачи Коши?
7.Какие численные методы решения ДУ вы знаете? В чем их смысл?
8.Что такое интегральная кривая?
9.Какое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением?
10.Что называется дифференциальным уравнением в частных производных?
11.Что такое система дифференциальных уравнений?
12.Что является решением системы дифференциальных уравнений?
13.Как задаются начальные условия для системы дифференциальных уравнений?
14.Как связана система дифференциальных уравнений первого порядка и дифференциальное уравнений высшего порядка?
15.В чем суть численных методов решения ДУ?
16.Что такое переходный процесс электрической цепи?
17.Могут ли переходные процессы в электрической схеме протекать мгновенно? Почему?
18.Как влияют реактивные элементы схемы на дляительность переходного процесса?
98
Профессиональные математические пакеты
12.МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРОВЕДЕНИЮ ПРОВЕРОЧНЫХ
РАБОТ
По завершению выполнения работ №№1, 2 рекомендуется проведение
контрольной работы №1 по теме «Введение в математический анализ» методами Интернет-тестирования.
По завершению выполнения работ №№ 3, 4 и 5 рекомендуется проведение
контрольной работы №2 по темам «Линейная алгебра», «Аналитическая геометрия» и «Векторный анализ» методами Интернет-тестирования.
По завершению выполнения лабораторной работы № 6 рекомендуется проведение контрольной работы №3 по теме «Векторный анализ» методами Интернет-тестирования.
При планировании Интернет-тестирования по желанию преподавателя возможно отключение некоторых заданий в соответствии с теми темами, которые были (или не были) разобраны студентами. Это дает необходимую гибкость при адаптации методического пособия к курсам «Высшая математика», «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», «Инженерные расчеты в MathCAD» и «Профессиональные математические пакеты».
99
Заключение
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Данный курс «Профессиональные математические пакеты» является вводным с точки зрения исследования возможностей CAE-систем профессиональной математики. В него не вошли разделы, посвященные численным методам аппроксимации, решения дифференциальных уравнений, интегрирования и дифференцирования. Однако, навыки и компетенции, полученные студентом в данном курсе, позволят обучаемому уверенно выполнять расчетные работы из таких дисциплин как «Высшая математика», «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», «Физика», «Теоретические основы электротехники», «Теория автоматического управления» и «Методы анализа и расчета электронных схем».
Курс преследует цели получения компетенций, позволяющих учащемуся делать стратегическую оценку решаемой математической задачи, основывающуюся на понимании и ясном представлении цели исследований и абстрагировании от шаблонов и алгоритмов поиска решений. Поиск конкретного числового решения обучаемый делегирует системе MathCAD.
Выполнение лабораторных и практических работ по данному курсу дает необходимый объем знаний, умений, навыков и компетенций, который может потребоваться студенту, обучающемуся по специальности «Электроника и наноэлектроника», в его учебной деятельности и научной работе.
Повысить свои навыки в части профессиональных математических пакетов студент сможет в курсах «Математическое моделирование и программирование» и «Прикладная информатика».
Руководство может быть использовано для проведения практических занятий и лабораторных работ как аудиторно, так и в режиме самоподготовки.
Руководство рекомендовано для организации самостоятельной работы студентов.
Наличие вариантов индивидуальных заданий позволяет использовать настоящее руководство для проведения контрольных работ и итогового тестирования.
Для освоения дисциплины «Профессиональные математические пакеты» достаточно знаний, полученных студентом в школьных курсах математики, информатики и физики.
100