Материал: Kratn_2

Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет “ЛЭТИ”

КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Методические указания

Санкт-Петербург 2007

Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет “ЛЭТИ”

КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Методические указания

Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ “ЛЭТИ” 2007

УДК 517.958 (075)

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы: Методические указания / Сост.: Е. З. Боревич, Е. Е. Жукова, А. П. Щеглова. СПб.: Издво СПбГЭТУ “ЛЭТИ”, 2007. 72 с.

Содержат разделы теории интегрирования функций нескольких переменных, входящие в программу курса высшей математики для технических вузов.

Предназначены для студентов технических факультетов, обучающихся по всем направлениям и специальностям дневной, вечерней и заочной форм обучения.

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний

c СПбГЭТУ “ЛЭТИ”, 2007

Настоящее издание предназначено для студентов, изучающих теорию интегрирования функций двух и трех вещественных переменных, обычно включаемую в курс высшей математики для технических вузов. Один из разделов настоящих указаний посвящен элементам теории поля и ее приложениям в физике. Этот материал является основой для специального курса математической физики.

Стеоретической основой изложенного материала можно ознакомиться

вучебном пособии [1] и учебниках [2]–[4].

1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

1.1. Определение и свойства

Напомним определение двойного интеграла [1]. Рассмотрим в IR2 некоторую ограниченную замкнутую область D. Для любого ограниченного множества X точек из IR2 определим его диаметр d(X) равенством

d(X) = sup ρ(P 0, P 00),

P 0 X, P 00 X

где ρ(P 0, P 00) – расстояние между точками P 0 и P 00. В частности, для ограниченной замкнутой области диаметром является наибольшая хорда.

Обозначим S(D) площадь области D. Всюду далее будем считать, что для рассматриваемых областей выполнено неравенство S(D) > 0.

Пусть на области D задана вещественная функция f: D → IR. Рассмотрим разбиение {Di} области D на частичные (замкнутые) об-

ласти Di (i = 1, 2, ..., n) с кусочно-гладкими границами, которые могут пересекаться между собой разве лишь по своим границам. Для областей Di также определены их площади, которые обозначим Si (i = 1, 2, ..., n).

Обозначим λ = max d(Di) наибольший из диаметров частичных обла-

i=1,2,...,n

стей и назовем λ рангом разбиения. В каждой из областей Di выберем произвольную точку Pi Di и рассмотрим сумму

n

X

f(Pi)ΔSi,

i=1

называемую интегральной суммой для функции f(P ), области D, разбиения {Di} и точек Pi.

Определение 1.1. Число I называется двойным интегралом функции f(P ) по области D, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого разбиения {Di} с рангом, удовлетворяющим усло-

3

вию λ < δ, и любого выбора точек Pi Di справедливо неравенство

Функция f(P ) называется в этом случае интегрируемой по области D, и для двойного интеграла используется обозначение:

ZZ

I = f(P )dS.

D

Вычислять интеграл по определению крайне сложно, и на практике используется метод, который будет описан дальше.

Пока отметим несколько свойств двойного интеграла.

Теорема 1.1. Если функции f1(P ) и f2(P ) интегрируемы по области D, α1 IR, α2 IR и f(P ) = α1f1(P ) + α2f2(P ), то функция f(P ) также интегрируема по D и

Эта теорема позволит сводить интеграл суммы к сумме интегралов и выносить константу из-под знака интеграла. Это свойство обычно называют свойством линейности интеграла.

Еще одно важное свойство позволяет разбивать на части область интегрирования, что будет часто применяться при практическом вычислении.

Теорема 1.2 (аддитивность двойного интеграла). Если D = = D(1) D(2), где D(1) и D(2) – области с кусочно-гладкими границами,

пересекающиеся разве лишь по своим границам, и функция f(P ) инте-

Наоборот, если при тех же условиях, накладываемых на области D, D(1) и D(2), функция f(P ) интегрируема по областям D(1) и D(2), то f(P )

интегрируема по D и справедливо равенство (1.1).

Приведем еще одно свойство, которое позволяет найти площадь фигуры через вычисление двойного интеграла.

Теорема 1.3. Справедливо равенство

ZZ

dS = S(D).

D

4